บทที่ 1 เรขาคณิตเบื้องต้น

งานนำเสนอเรื่อง: "บทที่ 1 เรขาคณิตเบื้องต้น"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 บทที่ 1 เรขาคณิตเบื้องต้น
บทที่ 1 เรขาคณิตเบื้องต้น

2 เนื้อหาในบทที่ 1 ความรู้พื้นฐานเรขาคณิตวิเคราะห์ เส้นตรง วงกลม
พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา

3 ความรู้พื้นฐานเรขาคณิตวิเคราะห์
ระบบพิกัดฉาก (Rectangular coordinate system) เส้นจำนวนสองเส้นที่ตั้งฉากกันบนระนาบเดียวกันที่จุด 0 เส้นจำนวนสองเส้นนี้จะเรียกว่า แกนโคออดิเนต โดยเส้นจำนวนที่อยู่ในแนวนอน จะเรียกว่า แกน X (X-axis) และเส้นจำนวนที่อยู่ในแนวดิ่งจะเรียกว่า แกน Y (Y-axis) โดยจุดที่แกน x และ แกน y ตัดกันจะเรียกว่า จุดกำเนิด (origin point) แกน Y จุดกำเนิด แกน X

4 แกนโคออดิเนตจะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน ซึ่งเรียกว่า 4 จตุภาค (quadrant)
จตุภาค 2 ( -,+) จตุภาค1 (+,+) แกนโคออดิเนตจะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน ซึ่งเรียกว่า 4 จตุภาค (quadrant) จตุภาค 3 (- ,-) จตุภาค 4 (+,-)

5 พิกัด x คือระยะที่จุดอยู่ห่างจากแกน y
ในการระบุตำแหน่งในระบบพิกัดจะแทนด้วย พิกัด x และ พิกัด y สัญลักษณ์ (x,y) x . A(x, y) y พิกัด x คือระยะที่จุดอยู่ห่างจากแกน y พิกัด y คือระยะที่จุดอยู่ห่างจากแกน x

6 จงระบุตำแหน่งของจุดต่อไปนี้บนระนาบพิกัดฉาก A(1,3) B(2,-1) C(-2,2) และ D(-1,-2)
. (1,3) (-2,2) . (2,-1) (-1,-2)

7 ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
กำหนดจุด A(x1,y1) และ B(x2,y2) เราสามารถหาระยะห่างของจุดสองจุดได้โดยอาศัยทฤษฏีบทปิทาโกรัส ลากเส้นผ่านจุด A ในขนานกับแกน x และลากเส้นผ่านจุด B ขนาดกับแกน y เส้นทั้งสองตัดกันที่จุด C ซึ่งมีพิกัด (x2,y1) โดย BC = y2-y1 และ AC = x2 - x1 พิจารณาสามเหลี่ยม ABC โดยทบ.ปิทาโกรัส จะได้ว่า C(x2,y1)

8 Example 1 จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุด P(-1,3) และ Q(3,5)
วิธีทำ Q P หน่วย

9 จุดแบ่งส่วนของเส้นตรง
กำหนดให้ A(x0,y0) เป็นจุดแบ่งของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด P(x1,y1) และ Q(x2,y2) โดยมีอัตราส่วน PA:AQ=m:n ลากเส้นตรงขนานกับแกน Y และผ่านจุด Q และ A ลากเส้นตรงขนานกับแกน X และผ่านจุด P และ A Q(x2,y2) เส้นขนานตัดกันที่จุด B , C และ D A(x0,y0) B(x2,y0) โดยมีพิกัด (x2,y0) , (x2,y1) และ (x0,y1) ตามลำดับ จาก ADP QBA จะได้ว่า P(x1,y1) D(x0,y1) C(x2,y1) พิจารณา

10 พิจารณา เพราะฉะนั้น

11 Example 2 จงหากึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง P(-2,0) และ Q(3,4)
A(x0,y0) ดังนั้น PA : AQ = 1:1 จะได้ว่า Q A(x0,y0) P

12 Example 3 กำหนดส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุด P(1,2) และ Q(6,7) โดยจุด A แบ่ง PQ ออกเป็นอัตราส่วน PA:AQ=2:3 จงหาพิกัดของจุด A วิธีทำ Q กำหนดให้ เป็นจุดแบ่งของ PQ A(x0,y0) A โดยมีอัตราส่วน PA : AQ = 2:3 จะได้ว่า P

13 การเลื่อนขนาน การเลื่อนขนานเป็นการเลื่อนพิกัดฉากกับแกนอ้างอิงระบบมุมฉากสองชุด คือระนาบ XY และ ระนาบX’Y’ ระนาบ XY จะมีจุดกำเนิด คือ จุด (0,0) ระนาบ X’Y’ จะมีจุดกำเนิด คือ จุด (h,k) Y’ X’ (h,k)

14 การเลื่อนขนาน ถ้าให้แกนอ้างอิงระบบพิกัดฉาก XY เลื่อนขนานไปที่จุด (h,k)
จุด P(x,y) ในแกนระบบพิกัด XY เมื่อเทียบกับแกนระบบพิกัด X’Y’ จะเป็นจุด P’(x’,y’) โดยที่ x’=x-h และ y’=y-k (h,k) X’ P(x,y) P’(x’,y’) ระบบพิกัด X’Y’ มีจุดกำเนิด O’(0,0) แต่จะเป็นจุด (h,k) ในระบบพิกัด XY แล้วจุด P จะมีพิกัด (x’,y’) 14

15 กำหนดจุด P (x,y) ในแกนพิกัด XY เมื่อเลื่อนขนานจุดไปยังระบบพิกัด X’Y’ แล้ว จุด P(x,y) ในแกนพิกัด XY จะเท่ากับ P’(x,y) ในแกนพิกัด X’Y ‘ หรือเท่ากับ P’’(x+h,y+k) ในแกนพิกัด XY X’ (h,k) P’(x’,y’) P(x,y)

16 Example 2 จงเลื่อนขนานจุดยอดของสามเหลี่ยมคือ A(-1,2) B(1,-4) และ C(2,3) จากระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (0,0) ไปยังระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (3,2) วิธีทำ จากโจทย์ (h,k) = (3,2) พิกัด P(x,y) = P’(x-h,y-k) A B C จุด A(-1,2) บนระบบแกน XY จะเป็นจุด A’(-1-3,2-2)=(-4,0) บนระบบแกน X’Y’ จุด B(1,-4) บนระบบแกน XY (h,k) จะเป็นจุด B’(1-3,-4-2)=(-2,-2) บนระบบแกน X’Y’ จุด C(2,3) บนระบบแกน XY จะเป็นจุด C’(2-3,3-2)=(-1,1) บนระบบแกน X’Y’

17 Example 2 จงเลื่อนขนานจุดยอดของสามเหลี่ยมคือ A(-1,2) B(1,-4) และ C(2,3) จากระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (0,0) ไปยังระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่ (3,2) จุด A(-1,2) ระบบแกน XY A B C จะเลื่อนไปเป็นจุด A’’(-1+3,2+2)=(2,4) จุด B(1,-4) ระบบแกน XY จะเลื่อนไปเป็นจุด B’’(1+3,-4+2)=(4,-2) (h,k) จุด C(2,3) ระบบแกน XY จะเลื่อนไปเป็นจุด C’’(2+3,3+2)=(5,5)

18 Example 3 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
(2,4) พิจารณาสมการ จะได้ว่า กราฟ เป็นการเลื่อนขนาน ไปยังระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิด (2,4)