Formulate Mathematical Model

งานนำเสนอเรื่อง: "Formulate Mathematical Model"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Formulate Mathematical Model
Lecturer : Kanjana Thongsanit Silpakorn University

2 Decision Variable เมื่อคำตอบที่ต้องการ เป็น จำนวนนับ เช่น 1,2,3 ,…
เมื่อคำตอบที่ต้องการ เป็น จำนวนนับ เช่น 1,2,3 ,… ต้องจ้างคนจำนวนเท่าไร, เป็นคำตอบ ใช่หรือไม่ใช่ x = {0, 1} 1 เมื่อ product นี้ถูกสั่งให้ผลิต 0 อื่น ๆ

3 Problem

4 An employee scheduling problem
บริษัทต้องการ จัดตารางงานของพนักงาน โดยที่จากข้อมูลเดิม คือ Day ต้องการพนักงาน (คน) วันอาทิตย์ 18 วันจันทร์ 27 วันอังคาร 22 วันพุธ 26 วันพฤหัส 25 วันศุกร์ 21 วันเสาร์ 19

5 An employee scheduling problem
เวลาในการทำงานคือ 5 วัน หยุด 2 วันติดต่อกัน ค่าแรงปกติอยู่ที่ 655 $ ต่อ สัปดาห์ เนื่องจากพนักงานส่วนใหญ่ ชอบมากกว่าที่จะหยุดวัดเสาร์ หรือวันอาทิตย์ ดังนั้นบริษัทจึงให้เงินพิเศษ 25$ ต่อวัน สำหรับสมาชิกผู้ที่ทำงานในวันนี้ ดังนั้นค่าแรงจึงเป็น

6 An employee scheduling problem
กะ วันหยุด ค่าแรง 1 วันอาทิตย์ และวันจันทร์ = 680 2 วันจันทร์ และ วันอังคาร 705 3 วันอังคาร และ วันพุธ 4 วันพุธ และ วันพฤหัส 5 วันพฤหัส และ วันศุกร์ 6 วันศุกร์ และ วันเสาร์ 680 7 วันเสาร์ และ วันอาทิตย์ 655

7 An employee scheduling problem
ผู้จัดการต้องการให้มีค่าใช้จ่ายในการจ้างงานต่ำสุด โดยต้องการให้ ได้พนักงานในจำนวนที่ต้องการ คำถามคือ จะกำหนดพนักงานในแต่ละกะอย่างไร Xi = จำนวนพนักงานที่ถูกมอบหมาย ให้ทำงานกะ i เช่น x1 = จำนวนงานที่ถูกถูกมอบหมายให้ทำงานที่กะที่ 1 คือทำงาน 5 วันได้หยุดวันอาทิตย์ และวันจันทร์

8 An employee scheduling problem
Sid อาทิตย์ จันทร์ อังคาร พุธ พฤหัส ศุกร์ เสาร์ Cost: wi กะ 1 (x1) 1 680 กะ 2 (x2) 705 กะ 3 (x3) กะ 4 (x4) กะ 5 (x5) กะ 6 (x6) กะ 7 (x7) 655 No (Rd) worker Required 18 27 22 26 25 21 19

9 An employee scheduling problem

10 An employee scheduling problem
:จันทร์ :อังคาร :พุธ :พฤหัส :ศุกร์ :เสาร์ :อาทิตย์

11 Check 1 Using Excel solver, determine the optimal solution

12 Binary Variables and Logical Conditions
สมมุติว่า เรามีผลิตภัณฑ์ 3 ชนิด แต่ต้องการเลือกผลิตได้ไม่เกิน 1 ชนิด x1 + x2 + x3 <= 1 ต้องผลิต 1 ประเภทจากทางเลือกที่มี x1 + x2 + x3 = 1 xi = 1 , ผลิตผลิตภัณฑ์ i xi = 0 , ไม่ผลิตผลิตภัณฑ์ i

13 Binary Variables and Logical Conditions
ผลิตภัณฑ์ที่ 4 จะผลิตได้ก็ต่อเมื่อผลิตภัณฑ์ ที่ 5 ได้ถูกสั่งให้ผลิต x4 <= x5 x4 x5 1

14 The Fixed-Charge Problem
จะเกี่ยวข้องกับ Set up cost เช่น ถ้ามีการผลิต ผลิตภัณฑ์นี้จะมี ค่าใช้จ่ายในการเตรียม line ผลิตเกิดขึ้น ถ้าผลิตผลิตภัณฑ์ ที่ 1 (x1) จะเกิดค่าใช้จ่าย 1000 $ ดังนั้นหมายความว่าถ้า x1 มีค่า มากกว่า 1 (ผลิต) x1 > 0 ก็จะเกิดค่าใช้จ่าย 1000 $

15 Product 1 Product 2 Product 3 ชม. แรงงาน (hr.) Machining (hr.) 2 3 6 600 Grinding 4 300 Assembly 5 400 Profit($) 48 55 50 Set up cost ($) 1000 800 900

16 The Fixed-Charge Problem
บริษัทผลิต 3 ผลิตภัณฑ์ โดยแต่ละผลิตภัณฑ์ ต้องการชั่วโมงแรงงานตามตาราง และโรงงานมีชั่วโมงแรงงานที่จำกัดตามตาราง แต่ละผลิตภัณฑ์ขายได้กำไรตามที่ระบุในตาราง ถ้าผลิตภัณฑ์ ถูกเลือกก็มี Set up cost เช่น ถ้า ผลิตภัณฑ์ ที่ 1 ถูกสั่งให้ผลิตก็จะ เกิดค่าใช้จ่าย 1000 $ สำหรับผลิตภัณฑ์ ที่ 2,3 คือ 800 และ 900 ตามลำดับ ต้องการหาคำตอบว่าควรจะผลิต อะไร จึงจะทำให้มีกำไรสูงสุด

17 The Fixed-Charge Problem
ให้ xi คือ จำนวนของผลิตภัณฑ์ที่สั่งผลิต e.g. 1,2,3…, integer วิธีการ สร้าง Formulation 1.กำหนด ตัวแปร 1 ตัว เช่น y1 ที่เป็น binary เพื่อที่จะใช้ในการคำนวณค่า setup cost เช่น 1,000y1 ถ้า y1 เป็น 1 แปลว่ามี ค่าใช้จ่าย เกิดขึ้น 1,000 2. สร้างความสัมพันธ์ ระหว่าง ตัวแปร y1 และ xi โดย กำหนด ถ้า x1 ถูกผลิต (x1 > 0 )แล้ว, y1 จะมีค่าเท่ากับ 1

18 The Fixed-Charge Problem
X1 ≤ My1 M = ตัวเลขที่มีค่ามาก ๆ เช่น 10,000 y1 = 1 ถ้า ผลิตภัณฑ์ที่ 1 ถูกสั่งให้ผลิต 0 ถ้า ผลิตภัณฑ์ที่ 1 ถูกสั่งให้ผลิต e.g. x1 = 100 100 ≤ 1000y1

19 The Fixed-Charge Problem
100 ≤ y1 จะเห็นว่าด้วยสมการนี้ ถ้า x มีค่า > 0 , y1 จะมีค่าเป็น 1 ถ้า x มีค่า = 0 หรือไม่ถูกให้ผลิต 0 ≤ 100y1 y1 จะมีค่าเป็น 0 หรือ 1 ก็ได้

20 The Fixed-Charge Problem
Objective หากำไรสูงสุด MAX : 48x1 + 55x2 + 50x3 – 100y1 – 800y2 – 900y3 เงื่อนไขด้านการผลิต 2x1 + 3x2 + 6x3 ≤ : machining constraint หมายถึง ถ้าผลิตภัณฑ์ที่ 1 ถูกผลิตจะใช้ชั่วโมงแรงงาน 2 ชั่วโมง ถ้าผลิตภัณฑ์ที่ 2 ถูกผลิตจะใช้ชั่วโมงแรงงาน 3 ชั่วโมง ถ้าผลิตภัณฑ์ที่ 3 ถูกผลิตจะใช้ชั่วโมงแรงงาน 6 ชั่วโมง โดยจำนวนชั่วโมงที่ผลิตรวมกันต้องไม่เกิน 600 ชั่วโมง

21 The Fixed-Charge Problem
6x1 + 3x2 + 4x3 ≤ : Grinding constraint 5x1 + 6x2 + 2x3 ≤ : Assembly constraint x1 ≤ M1y1 x2 ≤ M2y2 x3 ≤ M3y3 x1,x2,x3 integer y1,y2,y3 binary

22 คำถามเกี่ยวกับ M M ก็ควรจะมีขนาดใหญ่อย่างน้อยเท่ากับ ค่าสูงสุดของ xi
x1 ≤ 60 y1

23 คำถามเกี่ยวกับ M จำนวนผลิตสูงสุดของ x1 2x ≤ 600  X1 ≤ 300 6x ≤ 300  X1 ≤ 50 5x ≤ 400  X1 ≤ 80 ค่าสูงสุด ของ x1 ที่เป็นไปตามทุกเงื่อนไขของต้นคือ 50 Max x2 = Min (600/3, 300/3, 400/6) = Max x3 = Min (600/6, 300/4, 400/2) = 75

24 Formulation MAX : 48x1 + 55x2 + 50x3 – 100y1 – 800y2 – 900y3
ดังนั้นค่า M1 = 50 , M2 = 67 , M3 = 75 MAX : 48x1 + 55x2 + 50x3 – 100y1 – 800y2 – 900y3 Subject to 2x1 + 3x2 + 6x3 ≤ : machining constraint 6x1 + 3x2 + 4x3 ≤ : Grinding constraint 5x1 + 6x2 + 2x3 ≤ : Assembly constraint x1 ≤ 50y1 x2 ≤ 67y2 x3 ≤ 75y3 x1,x2,x3 integer y1,y2,y3 binary

25 Check 2 Using Excel solver, determine the optimal solution

26 Minimum order/ purchase size
ถ้ากรณี Fixed charge ที่การซื้อมีการกำหนดปริมาณ ต่ำสุดที่จะผลิต เช่น ถ้ากำหนด x3 ต้องมากกว่า 40 x3 ≤ M3y3 x3 ≥ 40y3 ถ้า x3 = 0 , y3 = 0 ถ้า x3 = 35 , y3 = ? ถ้า x3 = 45 , y3 = 1

27 Airline hub location problem
เป็นปัญหาการจำนวนที่ตั้งศูนย์กลางการบินของสายการบิน โดยบริษัทสายการบินต้องการที่จะตั้งที่ตั้งของศูนย์การบิน โดยต้องการตั้งที่ตั้งจำนวนน้อยสุดซึ่งถ้าตั้ง hub ที่เมืองใด ก็ถือว่า hub นั้น จะรับความต้องการของพื้นที่ใกล้เคียงได้ด้วย เช่น ถ้า ตั้ง hub ที่พื้นที่ 5 เขตที่อยู่ติดกัน ไม่จำเป็นต้องตั้งศูนย์ อีกเพราะสามารถมาใช้ที่พื้นที่ 5 ได้ เราต้องการให้ปริมาณของ hub ที่จะสร้างมีจำนวนน้อยที่สุด xj = 1 ถ้าเมือง j ถูกเลือกเพื่อตั้งศูนย์กลางการบิน = 0 ในกรณีอื่นๆ

28 Airline hub location problem

29 Airline hub location problem
Sij ที่ตั้งของเมือง ( j ) คลุม(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

30 Subject to

31 Formulation Subject to

32 Network Modeling Minimum Cost Network Flow problem
Shortest path problem

33 Minimum Cost Network Flow problem

34 Cost ในการส่งจาก Newark to Boston = 30 $/item Objective
X12 = the number of cars shipped from node 1(Newark) to node 2 (Boston) Cost ในการส่งจาก Newark to Boston = 30 $/item Objective Min Total Cost ?

35 Minimum Cost Network Flow problem
Model

36 =VLOOKUP(B3,$J$3:$K$10,2) =SUMIF($D$3:$D$13,J3,$A$3:$A$13)-SUMIF($B$3:$B$13,J3,$A$3:$A$13)

37 Shortest path problem

38 Shortest path problem

39 Check 3 Using Excel solver, determine the optimal solution