Review of Ordinary Differential Equations

งานนำเสนอเรื่อง: "Review of Ordinary Differential Equations"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Review of Ordinary Differential Equations
Fundamentals of AMCS

2 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE)
คำนิยาม ให้ f(t) เป็นฟังก์ชันของ t บนช่วง (a,b) จะได้ว่า สมการอนุพันธ์ สามัญคือสมการที่เกี่ยวข้องกับ t, ฟังก์ชัน f(t), และอนุพันธ์ของ f(t) เรามักจะแทนฟังก์ชัน f(t) ด้วย y ใน ODE ตัวอย่าง

3 Linear Differential Equation
ถ้าเขียนสมการเชิงอนุพันธ์แบบข้างบนไม่ได้เราจะเรียกว่าเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ เชิงเส้น (non-linear differential equation)

4 Solution ผลเฉลย (Solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์บนช่วง t∈(a,b) คือฟังก์ชัน y(t) ที่ทำให้สมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวเป็นจริงเมื่อ t∈(a,b) ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นผลเฉลยของ สำหรับ จริงๆแล้วสมการจากตัวอย่างนี้มีผลเฉลยมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างผลเฉลยอื่นๆ คือ เป็นต้น

5 Initial Condition(s) เงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition(s)) คือเงื่อนไขหรือเซตของเงื่อนไขที่ บอกค่าของผลเฉลยหรือค่าของอนุพันธ์ของผลเฉลย ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยเฉพาะ เงื่อนไขเริ่มต้นจะเขียนอยู่ในรูป และ/หรือ ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นผลเฉลยของ

6 Interval of Validity ช่วงความสมเหตุสมผล (interval of validity) ของปัญหาสมการเชิง อนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น (initial value problem) คือช่วงที่ใหญ่ ที่สุดที่เป็นไปได้โดยที่ผลเฉลยที่ได้ยังคงสมเหตุสมผลและช่วงดังกล่าวต้องรวมค่า อยู่ด้วย

7 Particular Solution ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์คือผล เฉลยที่ไม่มีตัวคงค่า arbitrary constant และสอดคล้องกับเงื่อนไข เริ่มต้น

8 General Solution ผลเฉลยทั่วไป (general solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์ คือผลเฉลยที่ มีตัวคงค่า arbitrary constant โดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้น ผลเฉลยทั่วไปเป็นผลเฉลยที่อยู่ในรูปทั่วไปมากที่สุด และสามารถแปลงเป็นผลเฉลย เฉพาะได้ทุกๆ ผลเฉลยเมื่อกำหนดค่าให้ arbitrary constant

9 Explicit/Implicit Solution
ผลเฉลยชัดแจง (explicit solution) คือผลเฉลยในรูป ผลเฉลยโดยปริยาย (implicit solution) คือผลเฉลยในรูป

10 First Order Differential Equations
โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบทั่วไปที่สุดจะเขียนได้เป็น ซึ่งไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับผลเฉลย มีสมการเชิงอนุพันธ์อันดังหนึ่งในรูปแบบพิเศษบางกรณีที่มีสูตรในการหาผลเฉลย อย่างเช่น Linear Equations Separable Equations Exact Equations

11 Second Order Differential Equations
โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองในรูปแบบทั่วไปที่สุดจะเขียนได้เป็น ถ้า เราเรียกสมการเชิงอนุพันธ์นี้ว่าเป็นสมการ homogeneous ถ้าไม่ใช่ จะเรียกว่าเป็นสมการ nonhomogeneous

12 Direction Fields บางครั้งเราไม่สามารถหาผลเฉลยที่อยู่ในรูปแบบที่ชัดเจนได้ แต่เราสามารถดู พฤติกรรมของผลเฉลยโดยการวาดกราฟ Direction Fields ได้ ตัวอย่าง

13 Direction Fields (ต่อ)