Probability & Statistics

งานนำเสนอเรื่อง: "Probability & Statistics"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Probability & Statistics
Fundamentals of AMCS

2 Probability Theory (ทฤษฎีความน่าจะเป็น)
“ความแน่นอนคือความไม่แน่นอน” ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นการนำคณิตศาสตร์มาใช้ในการอธิบายความไม่แน่นอน Sample Space the set of all outcomes of an experiment Event a subset of of the sample space ตัวอย่าง 1 ผลที่ได้จากการโยนลูกเต๋าหนึ่งลูก (discrete) ตัวอย่าง 2 ช่วงเวลาที่หลอดไฟจะใช้งานได้จนกว่าจะเสีย (continuous) ความแน่นอนคือความไม่แน่นอน -บางวันฝนตกบางวันไม่ตก -เราวัดสิ่งของอย่างเดียวกันสองครั้ง เรามักจะได้คำตอบสองคำตอบที่ต่างกัน เช่นการทดลองอย่างเดียวกัน ทำสองซ้ำ ได้ผลไม่เหมือนกัน

3 Probability Function ให้ S เป็น Sample space สมมุติว่าเซต B เป็นเซตของสับเซต(หรือ Event)ของ S ที่มีสมบัติต่อไปนี้ ∈B ถ้า A∈B แล้ว Ac∈B ถ้า แล้ว (เรียก B ว่าเป็น sigma algebra ของ S) ฟังก์ชันความน่าจะเป็น P คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น B และสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้ P:B→ [0,1] P(S)=1 ถ้าเหตุการณ์ เป็นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วม จะได้ว่า

4 Probability Function หากมีการทดลองทำซ้ำเพื่อหาผลอะไรสักอย่างเป็นระยะเวลานานๆ P(A) บอกถึงสัดส่วนของเหตุการณ์ A ที่จะเกิดขึ้นเทียบกับผลที่เกิดขึ้นทั้งหมด

5 Random Variables ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) เป็นตัวแปรที่ใช้แทนค่าของเหตุการณ์ที่ เกิดขึ้น โดยต้องมีค่าเป็นตัวเลข (ซึ่งอาจเป็นตัวเลขที่เป็นผลของเหตุการณ์โดยตรง หรือ ผลของเหตุการณ์สามารถแทนความหมายด้วยตัวเลขได้) ตัวอย่าง 1 X เป็นตัวแปรสุ่มที่ใช้แทนหน้าที่เกิดจากการโยนลูกเต๋าหนึ่งลูก ตัวอย่าง 2 X เป็นตัวแปรสุ่มที่ใช้แทนหน้าที่เกิดจากการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ ตัวอย่าง 3 X เป็นตัวแปรสุ่มที่ใช้แทนช่วงเวลาที่หลอดไฟจะใช้งานได้จนกว่าจะ เสีย

6 Probability Density Function (pdf)
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม discrete จะเรียกว่า probability mass function (pmf) ซึ่งหมายถึง p(x) = P(X = x) ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม continuous pdf คือฟังก์ชัน f(x)≥0 ที่มีสมบัติว่า ตัวอย่างตัวแปรสุ่มจากหน้าที่ 5

7 Cumulative Distribution Function (cdf)
ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม discrete และมี p(x) เป็น pdf แล้ว cdf คือ ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม continuous และมี f(x) เป็น pdf แล้ว ตัวอย่างตัวแปรสุ่มจากหน้าที่ 5

8 Expectation ค่าคาดหมาย (Expected Value) ของตัวแปรสุ่ม X แทนด้วย E[X]
ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม discrete และมี p(x) เป็น pdf แล้ว ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม continuous และมี f(x) เป็น pdf แล้ว ตัวอย่างตัวแปรสุ่มจากหน้าที่ 5

9 Variance ความแปรปรวน (Variance) ของตัวแปรสุ่ม X แทนด้วย Var(X) นิยาม เป็น ในทางปฏิบัติ คำนวณจากสูตรต่อไปนี้จะง่ายกว่า ตัวอย่างตัวแปรสุ่มจากหน้าที่ 5

10 Pmf/pdf ที่ใช้บ่อย Bernoulli: ตัวแปรสุ่ม X มีค่าสองค่าคือ 0 (Failure) และ 1(Success) parameter: p (ความน่าจะเป็น P(X=1)) pmf: ตัวอย่าง: ให้ X แทนผลลัพธ์ของการโยนเหรียญ 1 เหรียญ โดย X=1 หมายถึงออก หัว X=0หมายถึงออกก้อย ให้ความน่าจะเป็นของการออกหัวเป็น 1/3ดังนั้น เราจะ ได้ p(1) = , p(0) = , E[X]= , Var(X)=

11 Pmf/pdf ที่ใช้บ่อย Discrete Uniform
ตัวแปรสุ่ม X คือผลจากการทดลองที่มีทั้งหมด N แบบ โดยที่มีความน่าจะเป็นใน การเกิดแต่ละแบบเท่าๆกัน parameter: N pmf: ตัวอย่าง: ให้ X แทนหน้าที่เกิดจากการโยนลูกเต๋าเที่ยงตรง 1 ลูก p(x) = , สำหรับ x=1,2,…,6

12 Pmf/pdf ที่ใช้บ่อย Binomial Distribution
ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนของการทดลองที่สำเร็จจากการทำการทดลองซ้ำทั้งหมด n ครั้ง parameters: n จำนวนของการทดลองทำซ้ำทั้งหมด p ความน่าจะเป็นที่การทดลองหนึ่งครั้งสำเร็จ pmf : ตัวอย่าง: สมมุติว่าเราโยนเหรียญ 1 เหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง ให้ X แทนจำนวนการโยนที่ ให้ผลลัพธ์เป็น"หัว“ ให้ความน่าจะเป็นของการออกหัวของเหรียญดังกล่าวเป็น 1/3 จงหา ความน่าจะเป็นที่จะออกหัว 1) 5 ครั้งพอดี 2)ไม่เกิน 2ครั้ง

13 Pmf/pdf ที่ใช้บ่อย Geometric Distribution
ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนของการทดลองที่ทำซ้ำจนกว่าจะสำเร็จ parameters: p ความน่าจะเป็นที่การทดลองหนึ่งครั้งสำเร็จ pmf : ตัวอย่าง: ให้ X แทนจำนวนการโยนการโยนเหรียญ 1 เหรียญจนกระทั่งได้ผลลัพธ์ เป็น"หัว“ ให้ความน่าจะเป็นของการออกหัวของเหรียญดังกล่าวเป็น 1/3 จงหา ความน่าจะเป็นที่จะต้องโยนทั้งหมด 1) 5 ครั้งพอดี 2)ไม่เกิน 2ครั้ง

14 Pmf/pdf ที่ใช้บ่อย Uniform
ตัวแปรสุ่ม X นิยมใช้แทนค่าจำนวนจริงที่อยู่ระหว่างช่วง [a,b] parameters: a,b ค่าขอบล่างและบนของช่วง [a,b] pdf :

15 Pmf/pdf ที่ใช้บ่อย Normal Distribution
ตัวแปรสุ่ม X นิยมใช้อธิบายปรากฏการณ์หลายอย่างในชีวิตประจำวัน parameters: μ ค่าเฉลี่ย (mean) σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) pdf : ถ้า μ=0, σ=1 เรียกการแจกแจงนี้ว่าเป็นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) ค่า pdf มักจะใช้สัญลักษณ์ นั่นคือ และค่า cdf ใช้

16 Central Limit Theorem (CLT)
พิจารณาลำดับของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงเหมือนกัน (independent and identically distributed หรือ iid) โดยการแจกแจงดังกล่าวมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็นค่าจำกัด ผลรวม ของตัวแปรสุ่มเหล่านั้นในจำนวนที่มากพอ จะมีการแจกแจงเข้าใกล้การแจกแจงแบบ ปกติ

17 Statistics Tools for organizing and analyzing data. Two branches
Descriptive Statistics “describe” data, e.g. mean, mode, median, frequency Inferential Statistics make predictions or comparisons about a population using information from a smaller group (sample)

18 Population ให้ N แทนขนาดของประชากร และ xi แทนค่าเชิงตัวเลขของประชากรที่ i Population Mean: Population Variance:

19 Sample ให้ n แทนขนาดของกลุ่มตัวอย่าง และ yi แทนค่าเชิงตัวเลขของตัวอย่างที่ i Sample Mean: Sample Variance: ทั้งคู่เป็น unbiased estimators ของ mean และ variance ของ ประชากร

20 Confidence Interval ช่วงความเชื่อมั่น (Confidence Interval) ของ μ ที่มีระดับความ เชื่อมั่น เปอร์เซ็นต์ หมายถึงว่า ความน่าจะเป็นที่ μ จะอยู่ ในช่วงดังกล่าวคือประมาณ จาก Central Limit Theorem ถ้าขนาดของกลุ่มตัวอย่างใหญ่พอ ช่วงดังกล่าวคำนวณได้จาก