ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
DSP 6 The Fast Fourier Transform (FFT) การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว
ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
2
เป้าหมาย นศ รู้จักความหมายของ การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (Fast Fourier Transform :FFT) และผลการแปลงจากสัญญาณในโดเมนเวลา นศ รู้จัก FFT แบบ Decimation in time (DIT) หรือ DIT-FFT CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
3
DFT คำนวณช้า... เพราะการคูณของเลขเชิงซ้อน
สังเกตว่า แต่ละค่าของ X(k) นั้น ต้องทำการคูณจำนวนเชิงซ้อน ถึง N ค่า คือ x(0) ถึง x(N-1) และ ถ้าต้องการ X(k), โดยที่ k=0 ถึง N-1 ก็ต้องคูณจำนวนเชิงซ้อน อีก N ครั้ง กลายเป็น NxN ซึ่งเป็นการกินกำลังงานของโปรเซสเซอร์อย่างมาก !!! โดย เลขเชิงซ้อน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
4
จำนวนการคูณและบวกเลขจริงต่อ การคูณเลขเชิงซ้อนหนึ่งครั้ง
จำนวนการคูณและบวกเลขจริงต่อ การคูณเลขเชิงซ้อนหนึ่งครั้ง ตัวอย่าง จงหาจำนวนการคูณและบวก สำหรับการเลขเชิงซ้อนข้างล่าง โดยที่ วิธีทำ มีการคูณ สี่ครั้ง มีการบวกสามครั้ง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
5
จำนวนการคูณเลขเชิงซ้อนสำหรับ 2-point DFT
มีการคูณเลขเชิงซ้อน 4 ครั้ง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
6
จำนวนการคูณเลขเชิงซ้อนสำหรับ 4-point DFT
มีการคูณเลขเชิงซ้อน 16 ครั้ง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
7
วิธีลดจำนวนการคูณเลขเชิงซ้อน
ลองมาดูว่ากรณี N=2 เราได้ เราได้ นั่นคือ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
8
วิธีลดจำนวนการคูณเลขเชิงซ้อน (ต่อ)
แต่เนื่องจาก ซึ่งเป็นเลขจำนวนจริง ดังนั้น หรือ โดยการคำนวณ WN ไว้ก่อน จะทำให้ลดการคูณเลขลง ซึ่งอาจจะทำให้ไม่มีการคูณเลขเชิงซ้อนเลย!!! CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
9
The Fast Fourier Transform (FFT) เร็ว...เพราะการสลับลำดับข้อมูล
Radix-2 DIT-FFT FFT เป็นชื่อเรียกโดยรวมๆของ อัลกอริธึมใดๆ ที่มีการแปลง DFT อย่างเร็ว วิธี“แบ่งแยกแล้วปกครอง (Divide and conquer)” ก็เป็นหนึ่งวิธีที่จะลดจำนวนการคูณเลขเชิงซ้อนลง ใช้ การแบ่งทางเวลา (Decimation in time) กับ N สัญญาณโดเมนเวลา โดยที่ N เป็นเลขกำลังของ 2 หรือเรียกว่า Radix-2 ดังนั้นชื่อเต็มเรียกว่า Radix-2 DIT-FFT CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
10
บัตเตอร์ฟลาย Butterfly
เป็นชื่อเรียก ของ กราฟการไหลของสัญญาณ (signal flow graph) โดยหนึ่ง บัตเตอร์ฟลาย มีการคูณเลขเชิงซ้อน สอง ครั้ง 1 1 Note: จริงๆแล้วแม้ว่า =1 ส่วน = -1, แต่ตอนนี้เราจะนับไปก่อนว่าเป็นเลขเชิงซ้อน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
11
กรณี N=4 DIT-FFT กรณี N =4 โดยที่
เราใช้การ”สลับ”ตำแหน่งของข้อมูลแล้ว ”รวม” (recomposite) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
12
การสลับตำแหน่งและการรวม (Recomposite)
ซึ่งเป็นการแยกออกเป็น DFT แบบ 2 จุดสองชุด ดังนั้น DFT แบบ 4 จุด = DFT แบบ 2 จุด + Wk4 x DFT แบบ 2 จุด CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
13
เรา “ลดรูป” สมการลงได้อีกในขั้น Recomposite
เราจะสร้าง “บัตเตอร์ฟลาย” เพื่อแสดงการสร้างสัญญาณ X(k) สำหรับ แต่ละค่าของ k CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
14
หา หมายเหตุ: ลูกศรที่ไม่เขียนค่ากำกับไว้ จะเท่ากับการคูณด้วย “1”
การรวม Recomposite หมายเหตุ: ลูกศรที่ไม่เขียนค่ากำกับไว้ จะเท่ากับการคูณด้วย “1” CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
15
หา การรวม Recomposite CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
16
หา การรวม Recomposite CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
17
หา การรวม Recomposite CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
18
ผลลัพท์ท้ายสุดคือ 4-point DIT-FFT
1 1 2-point DFT x 2 การรวม Recomposite CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
19
8-point DIT-FFT จัดรูปแบบใหม่ CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
20
8-point DIT-FFT (ต่อ) จาก สังเกตว่า เหลือเพียงการคำนวณสำหรับ 4-point DFT เท่านั้น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
21
ลดรูปลงได้อีกไหม? ได้ใช้ประโยชน์จากความเป็นคาบของสัญญาณ CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
22
8-point บัตเตอร์ฟลาย การรวม Recomposite 4-point DFT 4-point DFT CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
23
แต่เรายังลดรูปได้อีก
จาก สมการ 8-point DFT ที่ถูกลดลงเหลือ 4-point DFTx2 2-point DFT 2-point DFT ซึ่งก็คือ การแบ่ง 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTx2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
24
แยก 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFT สำหรับ x(0),x(2),x(4) และ x(6)
1 1 4-point DFT CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
25
สำหรับ x(1),x(3),x(5) และ x(7)
2-point DFT 2-point DFT ซึ่งก็คือ การแบ่ง 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTx2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
26
แยก 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFT สำหรับ x(1),x(3),x(5) และ x(7)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
27
DIT-FFT สำหรับ N=8 CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
28
สรุป 8-point DFT แตกตัวออกได้จนเหลือ 2-point DFT
4-point DFT + Wk8 x 4-point DFT 2-point DFT + W4k x 2-point DFT 2-point DFT + W4k x 2-point DFT CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
29
กรณี 8-point DIT-FFT ตัวรวม 8-point DFT ตัวรวม 4-point DFT ตัวรวม
(Recomposition to 8-point DFT) ตัวรวม 4-point DFT CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
30
กรณี N-point DIT-FFT 2-point DFT 2-point DFT 2-point DFT 2-point DFT
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
31
ทำไม FFT ใช้การคำนวณเพียง N log2N ?
เมื่อเราให้ R เป็น จำนวนขั้น (stage) ที่มีการรวม เราจะได้ว่า จึงได้ สำหรับ 4–point DFT, R=1 สำหรับ 8–point DFT, R=2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
32
จำนวนขั้นการรวม (R) 1 1 2 4-point DFT 8-point DFT 2 2 4 4 2 2 8
จำนวนครั้ง การรวม (R)= 2 1 4 2 จำนวนครั้ง การรวม (R)= 1 2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
33
จำนวนบัตเตอร์ฟลายต่อคอลัมน์ (B)
4-point DFT 8-point DFT 2 2 4 4 2 2 8 2 จำนวนบัตเตอร์ ฟลาย (B)= 4 2 2 2 จำนวน บัตเตอร์ฟลาย (B)= 2 จำนวนคอลัมน์ 4 4 4 3 จำนวนคอลัมน์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
34
จำนวนการคูณเลขเชิงซ้อน
= จ.น.บัตเตอร์ฟลายต่อคอลัมน์X จ.น.คอลัมน์ X มีการคูณ 2 ครั้งต่อบัตเตอร์ฟลาย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
35
เปรียบเทียบจำนวนครั้งการคูณเลขเชิงซ้อน ของ DFT และ FFT
เราลดการคำนวณ จาก เหลือ N DFT N2 FFT (N log2N) 2 4 8 : 256 512 1,024 16 64 65,536 262,144 1,048,576 24 2,048 4,608 10,240 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
36
ปรับปรุงบัตเตอร์ฟลาย
จาก r= เลขใดๆ เราทราบว่า ดังนั้น 1 -1 ทำให้เหลือ จ.น.การคูณเลขเชิงซ้อนเป็น (N/2)log2N CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
37
บัตเตอร์ฟลาย 4-point DFT ที่ถูกลดรูป
1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 เหลือจ.น. การคูณเลขเชิงซ้อนเพียง (N/2)log2N= 4 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
38
สรุป FFT ก็คือ DFT แต่เป็นการสลับตำแหน่งข้อมูลและเทคนิกการรวมสัญญาณ เพื่อย่อยให้จำนวนการแปลงลดรูปลง วิธีการนี้ เรียกว่า Decimation in Time (DIT) และเรียก การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วนี้ว่า DIT-FFT การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) แบบจะทำให้เหลือการคูณเลขเชิงซ้อนเหลือเพียง Nlog2N ครั้ง จาก N2 ครั้ง เมื่อใช้ DFT หรืออาจจะลดการคูณเลขเชิงซ้อนลงได้อีกเป็น (N/2) log2N หากใช้การปรับปรุงบัตเตอร์ฟลาย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
