ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
การเคลื่อนที่แบบหมุน
วัตถุที่มีระยะระหว่างอนุภาคที่ประกอบกันเป็นวัตถุมีค่าคงที่เสมอ เมื่อถูกแรงกระทำก็ยังไม่มีการเปลี่ยนระยะหรือรูปร่าง เราเรียกวัตถุที่มีลักษณะดังกล่าวว่า วัตถุแข็งเกร็ง Rigid Body และวัตถุมีการเคลื่อนที่หมุนไปรอบแกนใด ๆ สามารถแบ่งพิจารณาได้เป็น 1. แกนหมุนอยู่กับที่ เช่น การหมุนรอบแกนของล้อและเพลา 2. การหมุนเคลื่อนที่ในทิศขนานกับทางเดิม เช่น การหมุนล้อรถยนต์ 3. แกนหมุนตามไปด้วย เช่น การหมุนของลูกข่าง
2
การเคลื่อนที่แบบหมุน
ในบทที่ผ่านมาเราพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในเชิงอนุภาค โดยการพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่ง ยกตัวอย่างกรณีถ้ามีแรงลัพธ์กระทำผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ ก็จะทำให้วัตถุมีการเลื่อนตำแหน่งเพียงอย่างเดียวเท่านั้น ซึ่งเป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน สำหรับการศึกษาในบทนี้ เราจะพิจารณาการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุโดยจุดศูนย์กลางมวลอยู่กับที่ หรือการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลโดยมีการเลื่อนตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล เช่น การกลิ้งของกระป๋อง การหมุนของล้อรถ การหมุนของลูกข่าง การหมุนของรอก ฯลฯ
3
การหมุน อัตราเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม
แกนหมุน กำหนดให้ p และ q อยู่บนแท่งที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมไปรอบแกนหมุนและครบรอบพร้อมกัน และการหมุนเป็นไปอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเป็นไปตามกฎสกรูมือขวา จะได้ว่า ω p q o T คือ เวลาที่การหมุนครบ 1 รอบ (วินาที/รอบ) ω คือ อัตราเร็วเชิงมุม (เรเดียน/วินาที)
4
สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนนั้น เราจะพิจารณาการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุโดยจุดศูนย์กลางมวลอยู่กับที่ ซึ่งไม่มีการเปลี่ยนทิศของแกนหมุน โดยสมมุติแกนอ้างอิงหลัก(z) ประกอบการพิจารณา z อัตราเร็วเชิงมุม(Angular Velocity)คือ มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับความยาวส่วนโค้งของวงกลมที่เคลื่อนที่ไปในช่วงเวลา 1 วินาที y p θ x
5
ในการหมุนของวัตถุ วัตถุอาจจะมีการหมุนโดยมีอัตราเร็วเชิงมุมที่ไม่คงตัว กล่าวได้ว่า วัตถุนั้นมีความเร่งเชิงมุม นั่นหมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมของวัตถุ ดังนั้น ความเร่งเชิงมุมของวัตถุขณะใดขณะหนึ่ง คือ
6
การเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่ การเคลื่อนที่แบบหมุน
การเคลื่อนที่แบบหมุนที่มีแกนหมุนคงที่นั้น มีรูปแบบที่คล้ายกันมากกับการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ ดังนั้นมาการที่ได้จึงมีรูปแบบสมการที่คล้ายกันดัง ตารางที่ 1 การเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่ การเคลื่อนที่แบบหมุน
7
ตัวอย่างที่ 1 ล้อเกวียนอันหนึ่งกำลังหมุนด้วยอัตรา 120 รอบต่อนาที ถ้าล้อเกวียนวงนี้ถูกกระทำด้วยแรงคงที่ค่าหนึ่ง แล้วหยุดนิ่งภายในเวลา 20 วินาที นับตั้งแต่แรงที่เริ่มกระทำจนถึงวงล้อหยุดหมุน วงล้อนี้หมุนไปได้ทั้งหมดกี่รอบ วิธีทำ ω0 = 2 ¶ f แต่ f = 120/(1 × 60) = 2 รอบต่อวินาที ω0 = 2 ¶ (2) ดังนั้น ω0 = 4 ¶ จาก จะได้ แต่ 1 รอบ จะกวาดมุมไปได้ = 2¶ ดังนั้น ล้อเกวียนนี้หมุนไปได้ทั้งหมด 40¶ ∕ 2¶ = 20 รอบ
8
แบบฝึกหัด เจ้าของรถจักรยานยนต์คันหนึ่งต้องการเปลี่ยนล้อรถขนาดมาตรฐาน จึงเปลี่ยนล้อทั้งสองให้มีขนาดเล็กลงจากเดิมที่มีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 21 นิ้ว มาเป็นขนาด 18 นิ้ว ถ้าในขณะที่ขับขี่รถยนต์ด้วยล้อชุดใหม่นั้น เขาอ่านมาตรวัดความเร็วของรถได้ 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อยากทราบว่า ความเร็วที่แท้จริงของรถ ณ ขณะนั้นเป็นเท่าใด (ตอบ กิโลเมตร)
9
a. หัวจับของเครื่องกลึงมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0
b. ถ้าความเร็วในแนวเส้นสัมผัสของชิ้นงานเท่ากับ เมตรต่อวินาที จงหาความเร็วเชิงมุมของชิ้นงานเป็นรอบต่อนาที ถ้าชิ้นงานมีเส้นผ่านศูนย์กลาง เมตร a. จาก จาก
10
b. จาก หาความเร็วรอบต่อนาที โดยแปลงจาก ω = 24 rad/sec ให้อยู่ในหน่วย rad/min จะได้ ω = rad/min หาจำนวนรอบ ถ้า 2 rad = รอบ แล้ว rad/min =
11
ทอร์กกับการเคลื่อนที่แบบหมุน
ทอร์ก หรือ ขนาดโมเมนต์ของแรง เท่ากับ แรงคูณระยะตั้งฉากจากจุดหมุนไปยังแนวแรง เป็นปริมาณเวกเตอร์ นั่นคือ y Fi Ri θ x วัตถุมวล m เคลื่อนที่ในแนววงกลมรัศมี R พิจารณาการหมุนของล้อรถ
12
โมเมนต์ความเฉื่อย และ กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน
พิจารณาอนุภาคมวล m ของวัตถุ ณ จุด P ซึ่งอยู่ห่างจากจุดหมุนเป็นระยะ R ถูกแรงภายนอก F มากระทำ และถูกแรงภายในกระทำเช่นเดียวกัน ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนนั้น อาจกล่าวได้ว่า วัตถุเมื่อโดนแรงกระทำ จะเคลื่อนที่หมุนรอบจุดกำเนิด (O) ทำให้เกิดการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเชิงเส้น a
13
จากการเคลื่อนที่เป็นวงกลมของมวล m ซึ่งจะมีความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งในการเคลื่อนที่เชิงเส้นและเชิงมุม คือ a = 𝜶R ถ้าวัตถุประกอบด้วยมวลย่อย จำนวน n ก้อนแล้ว จะได้ว่า
14
ค่าความเร่งเชิงมุม 𝜶 เป็นค่าเดียวกันทั่วทั้งแผ่น ดังนั้น ค่าทอร์ก จึงเป็นทอร์ลัพธ์ที่กระทำกับวัตถุ ซึ่งอาจมาจากแรงเดียวกระทำที่จุดใดจุดหนึ่งของวัตถุ ซึ่งการยึดกันภายในของของแข็ง จะกระจายผลกระทำไปทั่วทั้งแผ่น คือ ปริมาณที่บอกให้ทราบว่า มวลของวัตถุมีการกระจายรอบแกนหมุนอย่างไร หรือ เป็นโมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia)ของวัตถุ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม – เมตร2 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (I)
15
นั่นคือ ทอร์กลัพธ์ เมื่อ หรือ I = mR2 ทอร์ก จะมีทิศตั้งฉากกับระนาบของ xy หรืออยู่ในทิศเดียวกับอัตราเร็วเชิงมุม นั่นเอง จากสมการข้างต้น แสดงว่าทอร์กก็ควรมีทิศเดียวกับความเร่งเชิงมุม เช่นเดียวกัน
16
การคำนวณหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง
ถ้าทราบตำแหน่งของมวลย่อยจากแกนหมุนจะหาจากสมการ หรืออาจทราบค่าโมเมนต์ของแรงหรือทอร์กและความเร่งเชิงมุมหาได้โดยตรงจากสมการ ในกรณีที่วัตถุมีลักษณะเป็นรูปทรงเรขาคณิต ใช้แคลคูลัส(การหาลิมิตหรือเทคนิคการอินทิเกรต)เข้าช่วย นั่นคือ
17
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปต่างๆ ที่จะต้องทราบ
รูปร่างของวัตถุ มวล m แกนหมุน รูป โมเมนต์ฯ (I) ทรงกลมตัน รัศมี R รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลาง ทรงกลมกลวง รัศมี R ทรงกระบอกตัน รัศมี R ยาว L รอบแกนของทรงกระบอก
18
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปต่างๆ ที่จะต้องทราบ (ต่อ)
รูปร่างของวัตถุ มวล m แกนหมุน รูป โมเมนต์ฯ (I) แผ่นกลมบาง รัศมี R รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางตั้งฉากกับแผ่น รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางบนระนาบของแผ่น แท่งวัตถุเล็ก ยาว L รอบแกนผ่านศูนย์กลางมวล ตั้งฉากกับแท่ง
19
30 x 1 = 10 x 52 𝜶 𝜶 = 1.6 เรเดียน/วินาที2
ตัวอย่าง คานเบา ab ยาว 5 เมตร ปลาย a มีมวล 10 กิโลกรัม ติดอยู่ส่วนปลาย b ซึ่งเป็นจุดหมุนตรึงที่ทำให้คานหมุนได้คล่องในระนาบ เมื่อมีแรง F ขนาด 30 นิวตัน กระทำตั้งฉากกับคานซึ่งห่างจาก b เป็นระยะ 1 เมตร ปลาย a ควรมีความเร่งเชิงมุมกี่เรเดียนต่อวินาที2 F วิธีทำ 1 m m b a 5 m 30 x 1 = 10 x 52 𝜶 𝜶 = 1.6 เรเดียน/วินาที2 ดังนั้น ที่ปลาย a จะมีความเร่งเชิงมุม 1.6 เรเดียน/วินาที2
20
= 2 + 𝜶 (3) a = 𝜶 R = 1/3 (0.25) a = 0.08 เมตร/วินาที2
ตัวอย่าง รอกหนักรัศมี 0.25 เมตร มีเส้นเชือกพันรอบ ที่ปลายเชือกมีมวลแขวนอยู่ 5 นิวตัน ขณะเริ่มสังเกตการเคลื่อนที่ของมวล ขณะนั้นรอกก็กำลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 2 เรเดียนต่อวินาที หลังจากนั้นอีก 3 วินาที พบว่า รอกหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 3 เรเดียนต่อวินาที โมเมนต์ความเฉื่อยของรอกเป็นเท่าใดในหน่วย กิโลกรัมเมตร2 จากสูตร วิธีทำ = 𝜶 (3) 𝜶 = 1/3 เรเดียน/วินาที2 0.25 m จะได้ a = 𝜶 R = 1/3 (0.25) a = เมตร/วินาที2 จากสูตร m W = 5 N
21
1. พิจารณา มวลที่แขวนอยู่บนรอก โดยหาความตึงเชือกระหว่างมวลกับรอก
จากสูตร จะได้ 𝜶 T T T = 5 – 0.04 T = นิวตัน m a W = 5 N
22
ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของรอกมีค่าประมาณ 3.72 kg.m2
2. พิจารณา รอก เพื่อหาความสัมพันธ์ของแรงตึงเชือก ที่จะทำให้เกิดทอร์ก นั่นคือรอกจะมีการหมุน จากสูตร I = kg.m2 ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของรอกมีค่าประมาณ kg.m2
23
พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน
จากการเคลื่อนที่เป็นวงกลม v = ωR พบว่า มวลย่อยแต่ละก้อนมีความเร็วเชิงมุม (ω) เท่ากัน แต่ระยะห่างจากแกนหมุน (R) ไม่เท่ากัน
24
ตัวอย่าง ม้าหมุนชุดหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนในแนวดิ่ง 500 กิโลกรัมเมตร2 ถ้าผลักให้หมุนรอบแกนในอัตรานาทีละ 6 รอบ จงหาพลังงานจลน์ของม้าหมุน วิธีทำ ω = 2 ¶ f เมื่อ f = 6/(1 × 60) รอบต่อวินาที ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม ω = 2 ¶ 6/(1 × 60) rad/s แต่ I = kg.m2
25
ตัวอย่าง ทรงกระบอกกลวงบาง กลิ้งลงพื้นเอียงโดยไม่ไถลจากตำแหน่งสูง h เมื่อสุดพื้นเอียง จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกจะมีอัตราเร็วเท่าใด วิธีทำ จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกเคลื่อนที่ต่ำลง นั่นแสดงว่า พลังงานจลน์จะมีค่าเพิ่มขึ้นและจะมีค่าเท่ากับพลังงานศักย์ที่ลดลง และ แต่ จะได้ว่า
26
ถ้าให้ m คือ มวลของทรงกระบอกกลวง และรัศมี R มีโมเมนต์ความเฉื่อย I = mR2 และ จาก ω = v/R
จะได้ จะเห็นได้ว่า อัตราเร็วจะไม่ขึ้นกับมวลและรัศมี
27
แบบฝึกหัด 1. ล้อรถกลมรัศมี เมตร มวล 4 กิโลกรัม มีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนเป็น กิโลกรัม.เมตร2 กำลังกลิ้งไปบนพื้นราบสม่ำเสมอ โดยไม่มีการไถล ขณะที่ล้อรถมีพลังงานจลน์เป็น 27 จูลน์ นั้น จุดศูนย์กลางมวลของล้อรถกลมอันนี้มีอัตราเร็วเป็นกี่เมตรต่อวินาที วิธีทำ จากสูตรการหาพลังงานจลน์ในการเคลื่อนที่แบบหมุน จะได้
28
แบบฝึกหัด 2. วัตถุมวล 0.1 กิโลกรัม และ 0.3 กิโลกรัม ติดอยู่กับปลายทั้งสองของคานเบายาว 1 เมตร ดังรูป จงหาพลังงานจลน์ของการหมุน ถ้าคานเบาหมุนรอบแกน ab = √200 เรเดียนต่อวินาที วิธีทำ o.20 m o.80 m a b 0.1 kg 0.3 kg เมื่อ I = mR2
29
โมเมนตัมเชิงมุมและอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม
โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุ คือ โมเมนต์ของโมเมนตัมเชิงเส้น เป็นปริมาณ เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม- เมตร2/วินาที (kg-m2/s) แทนด้วยสัญลักษณ์ “L” Ft L = mv x R v R m L คือ โมเมนตัมเชิงมุม mv คือ โมเมนตัมเชิงเส้น R คือ ระยะตั้งฉากจากจุดหมุนไปยังแนวของโมเมนตัม
30
L = mR2ω เมื่อ ω = v/R จะได้ว่า แต่ ดังนั้น ปริมาณ L คือ โมเมนตัมเชิงมุม หรือโมเมนตัมเชิงการหมุนซึ่งเหมือนกับโมเมนตัมธรรมดา (P = mv)
31
โมเมนตัมเชิงเส้น โมเมนตัมเชิงมุม L = Iω P = mv L = mR2ω P = kg-m/s L = mR2 (v/R) L = mvR L = kg-m2/s
32
การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม
การที่โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุจะเปลี่ยนไปได้ จะต้องอาศัยการเกิดทอร์กเข้าไป ให้กับการหมุนของวัตถุนั้น จากสูตร และ จะได้ว่า ดังนั้น
33
จากสมการข้างต้น กล่าวได้ว่า ทอร์กมีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม หมายความว่า ถ้ามีทอร์ก(ขนาดของแรง)ที่ไม่เป็นศูนย์มากระทำกับวัตถุ แล้ว วัตถุนั้นจะเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม โดยที่โมเมนตัมเชิงมุมเดิมนั้นอาจมีค่าเพิ่มขึ้น หรือ ลดลง หรือเปลี่ยนทิศ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทิศของทอร์ก(แรง) ที่มากระทำ
34
หากไม่มีแรงภายนอกมากระทำ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบก็จะไม่เปลี่ยนแปลง นั่นหมายถึง ไม่เปลี่ยนแปลงทั้งขนาดและทิศทางของโมเมนตัม ตัวอย่างกรณี การหมุนของนักสเกตน้ำแข็ง ขณะที่กางแขนแล้วหมุนตัว โมเมนตัมเชิงมุมจะต้องคงที่(รักษาการทรงตัว) ความเร็วเชิงมุมก็คงที่ แต่เมื่อเริ่มหุบแขน จะเริ่มมีการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุม ซึ่งโมเมนตัมจะต้องคงที่เสมอเพื่อรักษาการทรงตัว ดังนั้นความเร็วเชิงมุมจะเพิ่มขึ้นเมื่อแขนแนบชิดติดลำตัว เสมือนว่า จุดศูนย์กลางกำลังหมุนรอบตัวเองอยู่
36
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
นิยาม “ถ้าผลรวมของทอร์ก(ขนาดของแรง) ที่มากระทำกับวัตถุมีค่าเป็นศูนย์แล้ว จะทำให้โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุมีค่าคงที่” จากสมการ เมื่อ ทอร์ก เท่ากับ ศูนย์ (0)
37
จะได้ว่า แต่ ดังนั้น เราเรียกความสัมพันธ์ของสมการข้างต้นนี้ว่าเป็น “กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม”
38
1. ชายคนหนึ่งถือดัมเบลไว้สองมือ นั่งบนเก้าอี้ที่หมุนได้อย่างอิสระโดยไร้แรงเสียดทานและมีแกนหมุนอยู่ในแนวดิ่งขณะที่เขากางมือออก โมเมนต์ความเฉื่อยของชายคนนั้นและเก้าอี้เท่ากับ 2.25 กิโลกรัม- เมตร2 ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นในการหมุนเท่ากับ 5 เรเดียนต่อวินาที เมื่อเขาหุบแขนทั้งสองเข้าหาตัว โมเมนต์ความเฉื่อยรวมเท่ากับ กิโลกรัม- เมตร2 จงหาว่าอัตราเร็วเชิงมุมขณะที่ชายคนนี้หุบแขนมีค่าเท่าใด วิธีทำ จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
39
แทนค่าในกฎการอนุรักษ์ฯ จะได้ว่า
2.25 x 5.0 = x 𝝎2 ดังนั้น อัตราเร็วเชิงมุมในการหมุนขณะหุบแขน เท่ากับ เรเดียนต่อวินาที
40
Ex วัตถุมวล กรัม ผูกติดปลายเชือกซึ่งลอดผ่านรูหลอดเล็กๆ ปลายข้างหนึ่งดึงยึดไว้ด้วยแรงค่าหนึ่ง แล้วเหวี่ยงให้เป็นวงกลมรัศมี 1 เมตร ถ้าดึงเชือกให้รัศมีวงกลมเป็น 50 เซนติเมตรทันที วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่าใด ในหน่วย เรเดียนต่อวินาที ถ้าเดิมมีอัตราเร็วเชิงมุมเท่ากับ 3 เรเดียนต่อวินาที วิธีทำ จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม แต่
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
© 2025 SlidePlayer.in.th Inc.
All rights reserved.