อนุกรมอนันต์และการลู่เข้า

งานนำเสนอเรื่อง: "อนุกรมอนันต์และการลู่เข้า"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 อนุกรมอนันต์และการลู่เข้า
หน่วยที่ 5 อนุกรมอนันต์และการลู่เข้า รศ.ดร.วัชรพงษ์ อนันต์ชื่น

2 ตอนที่ 5.1 ลำดับอนันต์ อนุกรมอนันต์

3 ให้ a1, a2, a3, … an, … เป็นลำดับ จะเรียกผลบวก
ว่า อนุกรมอนันต์ และเขียนแทนด้วย ให้ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 ... Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = จะเรียก Sn ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรมอนันต์

4 กำหนดลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมอนันต์
ดังนี้ S1, S2, S3, … , Sn, … จะกล่าวว่า อนุกรมอนันต์ ลู่เข้า เมื่อ {Sn} ลู่เข้า และจะกล่าวว่า อนุกรมอนันต์ ลู่ออก เมื่อ {Sn} ลู่ออก

5 จะเรียกอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้าว่า อนุกรมลู่เข้า
และเรียกอนุกรมอนันต์ที่ลู่ออกว่า อนุกรมลู่ออก ในกรณีที่อนุกรมอนันต์ เป็นอนุกรมลู่เข้า จะเรียกจำนวนจริง s ซึ่ง s = = ว่า ผลบวกของอนุกรมอนันต์

6 ตัวอย่าง 5.2.1 : อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจาก an = = – และ Sn = จะได้ว่า = = 1

7 ดังนั้น {Sn} ลู่เข้า นั่นคือ เป็นอนุกรมลู่เข้า และ ผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 1

8 : อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า
ตัวอย่าง 5.2.2 : อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า พิจารณาผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม ในที่นี้ Sn =

9 จะได้ว่า Sn= = 2 ดังนั้น อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า และ ผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 2

10 ตัวอย่าง 5.2.3 : อนุกรม เป็นอนุกรมลู่ออก พิจารณาผลบวกย่อยของอนุกรม จะได้ว่า จะได้ว่า Sn = จะเห็นว่าลำดับ {Sn} หาค่าลิมิตไม่ได้ ดังนั้น อนุกรม ลู่ออก

11 อนุกรมเรขาคณิต (Geometric series) คือ อนุกรมที่อยู่ในรูป
= a + ar + ar2 + ar3 + … + arn–1 + … โดยที่ a และ r เป็นจำนวนจริง และ a  0 r คืออัตราส่วนร่วม

12 = a + ar + ar2 + ar3 +…+ arn–1 + …
ทฤษฎีบท 5.2.4 : อนุกรมเรขาคณิต = a + ar + ar2 + ar3 +…+ arn–1 + … ลู่เข้าสู่ เมื่อ < 1 และลู่ออก เมื่อ  1

13 ตัวอย่าง 5.2.4 : จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก 1. 2.

14 วิธีทำ : (1) พิจารณาอนุกรม
วิธีทำ : (1) พิจารณาอนุกรม จะเห็นว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = และ r = โดยทฤษฎีบท จะได้ว่า อนุกรมนี้ลู่ออก เนื่องจาก > 1

15 (2) พิจารณาอนุกรม จะเห็นว่า
อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มี a = 5 และ r = โดย = < 1 ทฤษฎีบท จะได้ว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า และ ลู่เข้าสู่ = =

16 ตัวอย่าง 5.2.5 : จงเขียนจำนวนทศนิยมต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของ เศษส่วน วิธีทำ : พิจารณา จะเห็นว่า =

17 ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 0.23 และ
r = 0.01 อนุกรมนี้จะลู่เข้าสู่ = = นั่นคือ =

18 เรื่องที่ 5.2.2 การทดสอบการลู่เข้า ของอนุกรมอนันต์

19 ต่อไปเราจะศึกษาการทดสอบการลู่เข้าของ
อนุกรมอนันต์แบบต่างๆ เช่น การทดสอบแบบ เปรียบเทียบ การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล การทดสอบโดยใช้อัตราส่วน และ การทดสอบโดย ใช้ราก ซึ่งการทดสอบเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถ พิจารณาการลู่เข้าของอนุกรมได้สะดวกขึ้น

20 ทฤษฎีบท 5.2.5 : สำหรับอนุกรม โดยที่ an  0 สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n จะได้ว่า ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อลำดับผลบวกย่อย {Sn} มีขอบเขต ถ้า M เป็นขอบเขตบนของลำดับ {Sn} จะได้ว่า  M

21 ข้อสังเกต : ในกรณีที่ an  0 จะได้ว่า Sn  0 และ {Sn} เป็นลำดับเพิ่ม ดังนั้นอาจจะกล่าว ทฤษฎีบท ได้ใหม่ดังนี้ “สำหรับอนุกรม โดยที่ an  0 สำหรับ ทุกๆจำนวนเต็มบวก n จะได้ว่า ลู่เข้า ก็ ต่อเมื่อลำดับของผลบวกย่อย{Sn}มีขอบเขตบน”

22 : จงแสดงว่า อนุกรมฮาร์โมนิค
ตัวอย่าง 5.2.7 : จงแสดงว่า อนุกรมฮาร์โมนิค = ลู่ออก วิธีทำ : เนื่องจาก Sn = และ S2n =

23 = Sn เพราะว่า > = = ดังนั้น S2n > Sn + สำหรับทุกๆ จำนวน เต็มบวก n

24 จะได้ว่าลำดับ {Sn} ไม่มีขอบเขตบน
ดังนั้นอนุกรม ลู่ออก

25 : จงแสดงว่าอนุกรม ลู่เข้า
ตัวอย่าง 5.2.8 วิธีทำ : เนื่องจาก Sn =

26 จะได้ว่า Sn =   = (อนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 1 และ r = ) = = 2

27 นั่นคือ 0  Sn  2 สำหรับทุกๆ จำนวน
ดังนั้น อนุกรม ลู่เข้า และ  2

28 ทฤษฎีบท 5.2.6 : สำหรับ p ที่เป็นจำนวนจริง เรียกอนุกรม = ว่าอนุกรมพี (p – series) อนุกรมพีจะลู่เข้า เมื่อ p > 1 และลู่ออก เมื่อ p  1

29 ข้อสังเกต : อนุกรมฮาร์โมนิค คือ อนุกรมพี เมื่อ p = 1

30 ตัวอย่าง 5.2.9 : จงแสดงว่า อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า วิธีทำ : พิจารณาอนุกรม เป็นอนุกรมพี ที่มี p = 2 > 1 ดังนั้น อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้า

31 ข้อความแย้งสลับที่ ของทฤษฎี 5.2.7 คือ
ทฤษฎีบท 5.2.7 an = 0 : ถ้าอนุกรม ลู่เข้า แล้ว ข้อความแย้งสลับที่ ของทฤษฎี คือ an  0 “ถ้า แล้วอนุกรม ลู่ออก” จะเรียกข้อความนี้ว่า การทดสอบการลู่ออก (Divergence test)

32 ตัวอย่าง 5.2.10 : จงแสดงว่า อนุกรม เป็นอนุกรมลู่ออก วิธีทำ : พิจารณา
วิธีทำ : พิจารณา จะได้ว่า = =  0

33 ดังนั้นอนุกรม ลู่ออก ข้อสังเกต ในกรณีที่ an = 0 จะไม่สามารถสรุปได้ว่า ลู่เข้าหรือลู่ออก ดังตัวอย่างต่อไปนี้ อนุกรม พิจารณาอนุกรม

34 จะเห็นว่า an = = 0 แต่อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = ดังนั้นอนุกรมนี้ลู่เข้า แต่ถ้าพิจารณาอนุกรมฮาร์โมนิค จะเห็นว่า an = = 0 แต่จากตัวอย่าง จะได้ว่า อนุกรมฮาร์โมนิคเป็นอนุกรมลู่ออก

35 : การทดสอบแบบเปรียบเทียบ(Comparison
ทฤษฎีบท 5.2.8 : การทดสอบแบบเปรียบเทียบ(Comparison test) สำหรับอนุกรม และ ใดๆ โดยที่ an  0 และ bn  0 สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n ถ้ามีจำนวนเต็มบวก N ที่ทำ ให้ an  bn สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n ซึ่ง n > N จะได้ว่า 1. ถ้าอนุกรม ลู่เข้า แล้วอนุกรม ลู่เข้า 2. ถ้าอนุกรม ลู่ออก แล้วอนุกรม ลู่ออก

36 ตัวอย่าง : จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก 1. 2.

37 จากตัวอย่าง 5.2.8 จะได้ว่า อนุกรม ลู่เข้า
วิธีทำ : (1) เนื่องจาก  สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n จากตัวอย่าง จะได้ว่า อนุกรม ลู่เข้า ดังนั้นอนุกรม ลู่เข้า (2) เนื่องจาก สำหรับทุกๆ จำนวนเต็ม  บวก n และอนุกรม ลู่ออก ดังนั้นอนุกรม ลู่ออก

38 : การทดสอบแบบเปรียบเทียบลิมิต
ทฤษฎีบท 5.2.9 : การทดสอบแบบเปรียบเทียบลิมิต (Limit comparison test) สำหรับอนุกรม และ ใดๆโดยที่ an > 0 และ bn > 0 สำหรับทุกๆ จำนวนเต็ม บวก n และ = c , โดยที่ c  0 จะได้ว่า

39 1. อนุกรม ลู่เข้า ก็ต่อเมื่ออนุกรม ลู่เข้า
1. อนุกรม ลู่เข้า ก็ต่อเมื่ออนุกรม ลู่เข้า 2. อนุกรม ลู่ออกก็ต่อเมื่ออนุกรม ลู่ออก หมายเหตุ : ในกรณีที่ = 0 จะสามารถ สรุปได้เพียงแต่ว่า “ถ้าอนุกรม ลู่เข้าแล้ว อนุกรม ลู่เข้า” และ “ถ้าอนุกรม ลู่ออกแล้ว อนุกรม ลู่ออก”

40 : การทดสอบโดยอัตราส่วน
ทฤษฎีบท : การทดสอบโดยอัตราส่วน (Ratio test) สำหรับอนุกรม ใดๆ โดยที่ an > 0 สำหรับ ทุกๆ จำนวนเต็มบวก n และ L เมื่อ 1. ถ้า L < 1 จะได้ว่า อนุกรม ลู่เข้า 2. ถ้า L > 1 จะได้ว่า อนุกรม ลู่ออก 3. ถ้า L = 1 การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

41 ตัวอย่าง : จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก 1. 2.

42 วิธีทำ : (1) ในที่นี้ an =
พิจารณา = = เพราะว่า เมื่อ = < 1 โดยการทดสอบโดยอัตราส่วน จะได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า

43 (โดยทฤษฎีบท 5.1.4) โดยการทดสอบ โดยอัตราส่วน จะได้ว่าอนุกรม ลู่ออก
(2) ในที่นี้ an = พิจารณา = = = = เพราะว่า e > 1 เมื่อ (โดยทฤษฎีบท 5.1.4) โดยการทดสอบ โดยอัตราส่วน จะได้ว่าอนุกรม ลู่ออก

44 ทฤษฎีบท : การทดสอบราก (Root test) สำหรับอนุกรม ใดๆ โดยที่ an  0 สำหรับ ทุกๆ จำนวนเต็มบวก n และ เมื่อ 1. ถ้า  < 1 จะได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า 2. ถ้า  > 1 จะได้ว่าอนุกรม ลู่ออก 3. ถ้า  = 1 การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

45 ตัวอย่าง : จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก 1. 3. วิธีทำ : (1) พิจารณา = = จะได้ว่า เมื่อ

46 โดยการทดสอบราก(ทฤษฎีบท 5.2.12) จะได้ว่า
อนุกรม ลู่ออก (3) พิจารณา = = =

47 เมื่อ จะได้ว่า = โดยการทดสอบราก(ทฤษฎีบท ) จะได้ว่า ลู่เข้า

48

49 เรื่องที่ 5.3.1 อนุกรมสลับ

50 an บทนิยาม 5.3.1 : อนุกรมสลับคือ อนุกรมที่อยู่ในรูป หรือ
โดยที่ an > 0 สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

51 +… +… ตัวอย่างของอนุกรมสลับเช่น = + +…+ = + + …+ – 1– – –1
= …+ – 1– +… = …+ – +… –1

52 ทฤษฎีบท 5.3.1 : กฎของไลบ์นิตซ์ (Leibnitz’s rule) ถ้าลำดับ{an}มีลิมิตเท่ากับ 0 และ an > an+1 สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n แล้ว อนุกรมสลับ และ an ลู่เข้า

53 : จงแสดงว่าอนุกรมสลับฮาร์โมนิค
ตัวอย่าง 5.3.1 : จงแสดงว่าอนุกรมสลับฮาร์โมนิค (alternating harmonic series) 1 – – เป็นอนุกรมลู่เข้า

54 ดังนั้นอนุกรมนี้ ลู่เข้า
วิธีทำ : เนื่องจาก an = = 0 และ an = > = an+1 ดังนั้นอนุกรมนี้ ลู่เข้า

55 : จงแสดงว่าอนุกรมสลับ
ตัวอย่าง 5.3.2 : จงแสดงว่าอนุกรมสลับ –1+ – – เป็นอนุกรมลู่เข้า an = = 0 วิธีทำ : เนื่องจาก และ an = > = an+1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลู่เข้า

56 : จงแสดงว่าอนุกรมสลับ เป็นอนุกรมลู่เข้า
ตัวอย่าง 5.3.3 : จงแสดงว่าอนุกรมสลับ เป็นอนุกรมลู่เข้า an = = 0 วิธีทำ : เนื่องจาก และ an = > = an+1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลู่เข้า

57 การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข และการลู่เข้าสัมบูรณ์
เรื่องที่ 5.3.2 การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข และการลู่เข้าสัมบูรณ์

58 ในเรื่องนี้เราจะศึกษา ความสัมพันธ์ของการ
ลู่เข้าของอนุกรม กับอนุกรม ซึ่งเรียกว่าการลู่เข้าสัมบูรณ์และการลู่เข้าแบบ มีเงื่อนไข

59 ทฤษฎีบท 5.3.2 : ถ้าอนุกรม ลู่เข้า จะได้ว่า อนุกรม ลู่เข้า ข้อความแย้งสลับที่ของทฤษฎีบทนี้คือ “ถ้าอนุกรม ลู่ออก แล้ว จะได้ว่า อนุกรม ลู่ออก”

60 ข้อสังเกต : ถ้าอนุกรม ลู่เข้า จะไม่สามารถสรุป ได้ว่าอนุกรม เกี่ยวกับอนุกรม ลู่เข้า หรือ ลู่ออก จากตัวอย่างที่ผ่านมาจะพบว่า 1. อนุกรมสลับฮาร์โมนิค ลู่เข้า แต่อนุกรมฮาร์โมนิค ลู่ออก

61 2. อนุกรมสลับ ลู่เข้า และ อนุกรม ลู่เข้า นั่นคือ ถ้าอนุกรม ลู่เข้า จะยังไม่ สามารถสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรม ได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า หรือ ลู่ออก

62 บทนิยาม 5.3.2 : สำหรับอนุกรม ใดๆ จะกล่าวว่า 1. อนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์ เมื่อ ลู่เข้า 2. อนุกรม ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข เมื่อ ลู่เข้า และ ลู่ออก

63 สรุปได้ความว่า ถ้าอนุกรม
ลู่เข้า จะได้ว่า อนุกรม ลู่เข้าด้วย ดังนั้น อนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์ สรุปได้ว่า ถ้าอนุกรม ลู่เข้า แล้ว อนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์ (เพราะทั้ง และ ลู่เข้า)

64 ในทางกลับกัน ถ้าอนุกรม ลู่เข้า เราไม่
สามารถสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรม ได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า หรือ ลู่ออก แต่ถ้าอนุกรม ลู่เข้า เราจะได้ว่าทั้งอนุกรม และ ลู่เข้า เราจึงกล่าวว่า อนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์ ลู่เข้า แต่ ส่วนอีกกรณีหนึ่งคือ อนุกรม อนุกรม ลู่ออก เราจะกล่าวว่า อนุกรม ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

65 ตัวอย่าง 5.3.4 : 1. อนุกรม ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ทั้งนี้เพราะว่า อนุกรม ลู่เข้า แต่ อนุกรม = เป็นอนุกรมลู่ออก

66 ทั้งนี้เพราะว่า อนุกรม ลู่เข้า และ
2. อนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์ ทั้งนี้เพราะว่า อนุกรม ลู่เข้า และ อนุกรม = ก็เป็นอนุกรมลู่เข้า

67 ตัวอย่าง 5.3.5 : จงแสดงว่าอนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์  1 สำหรับ
วิธีทำ : เนื่องจาก = ทุกๆ จำนวนเต็มบวก n ดังนั้น  สำหรับทุกๆ จำนวน เต็มบวก n

68 เป็นอนุกรมพีที่ลู่เข้า
และเนื่องจาก ดังนั้นอนุกรม ลู่เข้า นั่นคืออนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์

69 ตัวอย่าง 5.3.6 : จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า สัมบูรณ์หรือไม่ 1. 2.

70 นั่นคือ  = 0 < 1 ดังนั้นโดยการทดสอบราก
วิธีทำ : (1) พิจารณา = = = = 0 จะได้ว่า นั่นคือ  = 0 < 1 ดังนั้นโดยการทดสอบราก (ทฤษฎีบท5.2.12)จะได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า

71 นั่นคืออนุกรม ลู่เข้าสัมบูรณ์ (2) พิจารณา = = จะได้ว่า = = 2

72 นั่นคือ  = 2 > 1 ดังนั้นโดยการทดสอบราก
(ทฤษฎีบท )จะได้ว่าอนุกรม ลู่ออก นั่นคืออนุกรม ไม่เป็นอนุกรมลู่เข้า สัมบูรณ์

73 หมายเหตุ : จากตัวอย่างที่ จากการทดสอบอนุกรม จะได้ว่าอนุกรม แต่เพียงว่า อนุกรม เป็นอนุกรมลู่ออก จึงกล่าวได้ ไม่เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์

74 แต่จะเป็นอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขหรือไม่นั้น
จะต้องพิจารณาต่อไปอีกว่าอนุกรม ลู่เข้าหรือไม่ พิจารณาอนุกรม = 2 – – – + … จะได้ว่า

75  0 ดังนั้นอนุกรม เป็นอนุกรมลู่ออก (โดยบทกลับของทฤษฎีบท 5.2.7) ไม่เป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคืออนุกรม แบบมีเงื่อนไข

76 เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขหรือไม่
ตัวอย่าง 5.3.7 : จงพิจารณา อนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขหรือไม่ an = = 0 วิธีทำ : เนื่องจาก และ an = > = an+1 ดังนั้นอนุกรมนี้ ลู่เข้า

77 พิจารณา อนุกรม เป็นอนุกรมพีที่มี p = จะได้ว่าอนุกรม เป็นอนุกรมลู่ออก
| | = เป็นอนุกรมพีที่มี p = < 1 จะได้ว่าอนุกรม | เป็นอนุกรมลู่ออก | = เป็นอนุกรมลู่เข้า ดังนั้นอนุกรม แบบมีเงื่อนไข

78 : จงพิจารณา อนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า สัมบูรณ์หรือไม่
ตัวอย่าง 5.3.8 : จงพิจารณา อนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า สัมบูรณ์หรือไม่ วิธีทำ : พิจารณา =

79 จะได้ว่า = = = 0

80 นั่นคือ L = 0 < 1 ดังนั้นโดยการทดสอบโดย
อัตราส่วน(ทฤษฎีบท ) จะได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า นั่นคืออนุกรม เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์

81