ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด ค32213 คณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์ อ.วีระ คงกระจ่าง

นิยามของความสัมพันธ์เวียนบังเกิด คือ สมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง an กับ an+1 ในเกณฑ์ที่แน่นอน สมการนี้จะมีการคำนวณซ้ำคือแทนค่า an-1 ไปเรื่อยๆจนถึงพจน์เริ่มต้น

ตัวอย่าง 1 จากสมการเวียนบังเกิด an = an-1 + 3 จง คำนวณหา a3 ถ้ากำหนด a0 = 10 วิธีที่ทำ จาก an = an-1 + 3 รู้ค่า a0 หาค่า a1 จาก a0 = 10  a1 = a0+3 = 10+3 = 13  a2 = a1+3 = 13+3 = 16  a3 = a2 + 3 = 16 + 3 = 19

ตัวอย่าง 2 จากสมการเวียนบังเกิด an = 4an-1 จงคำนวณหา a3 ถ้ากำหนด a0 = 2 วิธีที่ทำ จาก an = 4an-1 รู้ค่า a0 หาค่า a1 จาก a0 = 2  a1 = 4(a0)= 4(2) = 8  a2 = 4(a1) = 4(8) = 32  a3 = 4(a2) = 4(32) = 128

ตัวอย่างปัญหา 1. กำหนดลำดับ 5,15,25,… จงหาสมการเวียน บังเกิด 2. กำหนดสมการเวียน an = an-1 + 5 เมื่อ a0 = 4 จงหาค่า a7 3. กำหนดสมการเวียนบังเกิด an = 3an-1 เมื่อ a0 = 6 จงหาค่า a4 4. กำหนดสมการเวียนบังเกิด an = 2an-1 + 6 เมื่อ a0 = 7 จงหาค่า a6

ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดแบบอื่นๆ นอกเหนือจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ ผ่านมา ยังมีความสัมพันธ์เวียนบังเกิดในรูปแบบ อื่นๆอีกดังตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1 กำหนดลำดับ an = an-1 – an-2 สำหรับ n ที่เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติ a0 = 3 และ a1 = 5 จงหา a3 และ a5

วิธีทำตัวอย่าง 1 จากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด an = an-1 – an- 2 และ a0 = 3 และ a1 = 5 จะได้ a2 = a1 – a0 = 5 – 3 = 2 a3 = a2 – a1 = 2 – 5 = -3 a4 = a3 – a2 = -3 – 2 = -5 a5 = a4 – a3 = -5 – (-3) = -5+3=-2

ตัวอย่าง 2 ให้ an = 2an-1 + 3an-2 สำหรับ n ที่เป็น จำนวนเต็มบวก และสมมติ a0 = 1 และ a1 = 2 จงหา a4

วิธีทำตัวอย่าง 2 จาก an = 2an-1 + 3an-2 สำหรับ n ที่เป็น จำนวนเต็มบวกและสมมติ a0=1 และ a1= 2 จะได้ a2 = 2a1 + 3a0 = 4 + 3 = 7 a3 = 2a2 + 3a1 = 14 + 6 = 20 a4 = 2a3 + 3a2 = 40 + 21 = 61

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา 1. ให้ an = 3an-1 + 2an-2 + 4 สำหรับ n ที่เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติ a0 = 2 และ a1 = 3 จงหา a3 2. ให้ an = 2an-1 • an-2 สำหรับ n ที่เป็น จำนวนเต็มบวก และสมมติ a0 = 1 และ a1 = 1 จงหา a4

การประยุกต์ใช้ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด เราสามารถนำหลักการของความสัมพันธ์ เวียนบังเกิดไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาที่ มีลักษณะต่อเนื่องและผลลัพธ์มีผลกับ ผลลัพธ์ต่อไป

ตัวอย่าง 1 ชายคนหนึ่งฝากเงิน 1,000 บาทแบบ ประจำซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นร้อยละ 8 ต่อปี เมื่อเขาฝากเงินดังกล่าวครบ 3 ปีเขาจะมีเงิน อยู่ในบัญชีเท่าไหร่

วิธีทำตัวอย่าง 1 จากข้อมูลการฝากเงินข้างต้น เมื่อเขาฝากเงินครบ n ปี เงินฝากที่ได้จะเกิดจากจำนวนเงินต้นในปีที่ n-1 บวกกับดอกเบี้ยในปีที่ n ซึ่งสามารถเขียน เป็นความสัมพันธ์เวียนบังเกิดได้เป็น an = an-1 + (0.08)an-1 = (1.08)an-1 เมื่อ n = 1,2,3,…

วิธีทำตัวอย่าง 1 จากข้อมูลข้างต้น เงื่อนไขเริ่มต้น คือ จำนวนเงิน ที่ฝากครั้งแรก คือ 1,000 บาท นั่นคือ a0 = 1000 a3 = (1.08)a2 = (1.08) (1.08)a1 = (1.08) (1.08) (1.08)a0 = (1.08)3 x 1000 = 1259.71

วิธีทำตัวอย่าง 2 ปัญหา การเพิ่มประชากรกระต่าย มีเงื่อนไขดังนี้ เมื่อเริ่มต้นมีกระต่าย 1 คู่ กระต่ายจะเริ่มสืบพันธ์ เมื่อมีอายุครบ 2 เดือน และหลังจากนั้นกระต่าย 1 คู่นั้นจะออกลูกทุกเดือนเดือนละ 1 คู่ อยาก ทราบว่าเมื่อเวลาผ่านไป 6 เดือน จะมีกระต่าย ทั้งหมดกี่คู่

วิธีทำตัวอย่าง 2 ให้ an แทนจำนวนกระต่ายในเดือนที่ n สิ้นเดือนที่ 1 และเดือนที่ 2 จะมีกระต่าย 1 คู่ซึ่งก็คือ กระต่ายคู่แรกดังนั้น a1 = a2 = 1 สิ้นเดือนที่ 3 กระต่ายจำนวน 1 คู่จะลูกออกมา 1 คู่ ดังนั้น จำนวนกระต่าย a3 = a2 + a1 = 2 สิ้นเดือนที่ 4 กระต่ายจากเดือนที่ 3 จำนวน 2 คู่ที่พร้อมจะ ออกลูก 1 คู่ ดังนั้น a4 = a3 + a2 = 3

วิธีทำตัวอย่าง 2 สิ้นเดือนที่ 5 กระต่ายจากเดือนที่ 4 จำนวน 3 คู่ที่พร้อมจะ ออกลูก 2 คู่ ดังนั้น a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5 สิ้นเดือนที่ 6 กระต่ายจากเดือนที่ 5 จำนวน 5 คู่ที่พร้อมจะ ออกลูก 3 คู่ ดังนั้น a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8