บทที่ 3 การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming)

การโปรแกรม (Programming) : การวางแผน เชิงเส้น (Linear) : วิธีการที่ใช้ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ ชนิดเชิงเส้น การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming : LP) เป็นเทคนิคเชิงปริมาณที่อาศัยวิธีทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัด

วัตถุประสงค์ของ LP 1.Maximize Profit : มุ่งหวังกำไรสูงสุด 2.Minimize Cost : มุ่งหวังต้นทุน หรือค่าใช้จ่ายต่ำสุด

ขั้นตอนของการโปรแกรมเชิงเส้น 1. สร้างตัวแบบของปัญหา 2. แก้ปัญหาของตัวแบบที่สร้างด้วยการหาคำตอบที่ต้องการ

การสร้างตัวแบบของปัญหา 1. การกำหนดตัวแปรของปัญหา 2. การกำหนดสมการเป้าหมาย 3. การสร้างข้อจำกัด 4. การสร้างตัวแปรทุกตัวให้มีค่าไม่ติดลบ

1. การกำหนดตัวแปรของปัญหา X1 = ตัวแปรตัวแรกที่ต้องการทราบ X2 = ตัวแปรที่สองที่ต้องการทราบ X3 = ตัวแปรที่สามที่ต้องการทราบ Xn = ตัวแปรที่ n ที่ต้องการทราบ

2. การกำหนดสมการเป้าหมาย (Objective Function) หาค่าสูงสุด Maximize Max Z หาค่าต่ำสุด Minimize Min Z ( Z คือ ผลรวมของฟังก์ชันเป้าหมาย หรือ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ )

3. สร้างข้อจำกัด (Constraints) โดยเขียนให้อยู่ในรูป อสมการ < , > , < , > a11x1 + a12x2 +….a1nxn > = < bi

4. สร้างตัวแปรทุกตัวให้มีค่าไม่ติดลบ (Non Negativety Restriction) กำหนดว่าตัวแปรทุกตัวจะต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ จะเป็นลบไม่ได้ X1 , X2 ,…,Xn > 0

โครงสร้างรูปแบบของกำหนดการเชิงเส้น ฟังก์ชันเป้าหมายเชิงเส้น (linear objective function) ข้อจำกัดของปัญหา (functional constraint) non-negativity constraint

สมมุติฐานของตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น 1.ความสัมพันธ์เชิงเส้น (Linearity) 2.กำหนดค่าได้แน่นอน (Deterministic) 3.บวกเข้าด้วยกันได้ (Additvity) 4.สามารถแบ่งแยกได้ (Divisbelity) 5.ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เดียว (single objective)

ตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น ความเป็นสัดส่วน การรวมกันได้ การทราบค่า การแบ่งได้

ตัวอย่างที่ 3.1 บริษัทเฟอร์นิเจอร์แห่งหนึ่ง ทำการผลิตโต๊ะ เก้าอี้ ซึ่งมีขั้นตอน 2 ขั้นตอน คือ 1. แผนกประกอบ มีเวลาทำงานไม่เกิน 60 ช.ม. 2. แผนกตกแต่ง มีเวลาทำงานไม่เกิน 48 ช.ม. โต๊ะ 1 ตัว ใช้เวลาประกอบ 4 ช.ม. ตกแต่ง 2 ช.ม. เก้าอี้ 1 ตัว ใช้เวลาประกอบ 2 ช.ม. ตกแต่ง 4 ช.ม. กำไร จากโต๊ะ 1 ตัว 8 บาท เก้าอี้ 1 ตัว 6 บาท จะต้องผลิตโต๊ะและเก้าอี้กี่ตัวในสัปดาห์ จึงจะได้กำไรสูงสุด

2. สมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X2 2. สมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X2

X1, X2, > 0 3. สร้างข้อจำกัด 2X1 + 4X2 < 48 4. กำหนดให้ตัวแปรทุกตัวมีค่าไม่ติดลบ X1, X2, > 0

ตัวอย่าง 3.2 บริษัทกีฬาพัฒนา เป็นบริษัท ซึ่งผลิตฟุตบอล และลูกบาสเกตบอล โดยในการผลิตลูกฟุตบอล และลูกฟุตบอลใช้วัตถุดิบ 2 ชนิด คือ หนัง และยาง ถ้าผลิตลูกฟุตบอลได้กำไร ลูกละ 16 บาท ลูกบาสเกตบอลได้กำไร ลูกละ 12 บาท และถ้าผลิตได้เท่าใด สามารถขายได้หมด ในสัปดาห์หน้าทางบริษัท มีวัตถุดิบ คือ หนัง 800 ตารางฟุต และยาง 500 กิโลกรัม ในการผลิตลูกฟุตบอล 1 ลูก ใช้ยาง 2 กิโลกรัม และหนัง 5 ตารางฟุต ส่วนการผลิตลูกบาสเกตบอล 1 ลูก ใช้ยาง 3 กิโลกรัม และใช้หนัง 4 ตารางฟุต ทางบริษัทกีฬาพัฒนา ควรผลิตลูกฟุตบอล และบาสเกตบอล อย่างละกี่ลูก เพื่อให้ได้กำไรรวมสูงสุด

ตัวอย่าง 3.3 ปัญหาของการจัดสรรเงินลงทุน ถ้านางกัลยา ได้รับมรดกจากพ่อแม่จำนวน 500,000 บาท นางกัลยา ต้องการนำเงินส่วนนี้ไปลงทุน แต่ในปัจจุบันการลงทุนอย่างใดอย่างหนึ่ง เพียงอย่างเดียว จะเป็นการเสี่ยงเกินไป นางกัลยา ต้องการกระจายความเสี่ยง จึงศึกษาด้านการลงทุน พบว่า ถ้าลงทุน การฝากเงินประจำ จะได้ดอกเบี้ย 4% ซื้อพันธบัตรรัฐบาล ได้ผลตอบแทน 5% ถ้าซื้อหุ้นด้านสื่อสาร คาดว่าจะได้ผลตอบแทน 7% และถ้าซื้อหุ้นด้านพลังงาน คาดว่าจะได้ผลตอบแทน 4.5%

เพื่อเป็นการกระจายความเสี่ยง นางกัลยาได้กำหนด ว่า -จะฝากประจำ ไม่เกิน 230,000 บาท -จะลงทุนซื้อพันธบัตรรัฐบาล ไม่เกิน 150,000 บาท -จะลงทุนในพันธบัตรรัฐบาล ไม่เกินเงินที่นำฝากประจำ -จะลงทุนในหุ้นด้านการสื่อสาร ไม่เกิน 120,000 บาท -จะลงทุนในหุ้นด้านพลังงาน ไม่เกิน 220,000 บาท -จำนวนเงินที่ซื้อพันธบัตรรัฐบาล และหุ้นสื่อสาร ไม่เกิน 70% ของเงินนำไปฝากประจำ และหุ้นด้านพลังงาน นางกัลยา ควรจัดสรรเงินลงทุนอย่างไร

โจทย์พิเศษ บริษัทผู้ผลิตแห่งหนึ่งผลิตสินค้า 3 ชนิดออกจำหน่ายโดยจะผลิตสินค้าเกรดเอ อย่างน้อยที่สุด 6,000 ชิ้น สินค้าเกรดบี อย่างมากที่สุด 24,000 ชิ้น และสินค้าเกรดซี ไม่เกิน30,000 ชิ้น ซึ่งบริษัทมีเครื่องจักรที่จะใช้ในการผลิตสินค้าอยู่ 2 ประเภท คือ เครื่องจักรประเภท ก และเครื่องจักรประเภท ข ที่สามารถผลิตสินค้าแต่ละชนิดได้ ดังนี้ รายการสินค้า เครื่องจักรประเภท ก เครื่องจักรประเภท ข เกรดเอ (ชิ้น/เดือน) 75 100 เกรดบี (ชิ้น/เดือน) 200 150 เกรดซี (ชิ้น/เดือน) 200 250 ในการคิดราคาต้นทุนการผลิตและจำหน่าย ประมาณได้ว่าการผลิตสินค้าโดยใช้เครื่องจักร ก จะได้กำไรเฉลี่ยเครื่องละ 87,500 บาท เครื่องจักร ข จะได้กำไรเฉลี่ยเครื่องละ100,000 บาท บริษัทควรใช้เครื่องจักรแต่ละประเภทกี่เครื่องจึงจะทำให้บริษัทได้กำไรมากที่สุด

วิธีทำ. กำหนดให้ X1 = จำนวนเครื่องจักร ประเภท ก วิธีทำ กำหนดให้ X1 = จำนวนเครื่องจักร ประเภท ก X2 = จำนวนเครื่องจักร ประเภท ข สมการเป้าหมาย Max Z = 87,500X1 + 100,000X2 ข้อจำกัด 75X1 + 100X2 > 6,000 200X1 + 150X2 < 24,000 200X1 + 250X2 < 30,000 X1, X2 > 0

การแก้ปัญหาของตัวแปร 1. วิธีกราฟ ใช้ในกรณีที่ตัวแปรมี 2 ตัวเท่านั้น 2. วิธีซิมเพล็ก ใช้หาค่าตัวแปรโดยไม่จำกัด จำนวน

วิธีแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นด้วยวิธีกราฟ 1. นำตัวแบบที่สร้างสมบูรณ์แล้วมาพิจารณา 2. กำหนดแกนตั้งและแกนนอนของตัวแปร X1, X2 (แกนตั้ง X2 แกนนอน X1) 3. นำข้อจำกัดทุกข้อ มาหาค่าเพื่อสร้างกราฟ

< > X1 < > X1 < > X1 4. หาบริเวณพื้นที่คำตอบที่เป็นไปได้ ภายใต้เงื่อนไขทุกข้อ X2 X2 X2 < > X1 < > X1 < > X1 5. หาค่าที่ดีที่สุด ภายใต้เป้าหมายที่ตั้งเอาไว้ (Optimal Solution)

สมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X2

2X1 + 4X2 < 48 X1, X2, > 0 2. สร้างแกนของกราฟ ข้อกำหนดของตัวแปรมีค่าไม่ติดลบ X1, X2, > 0 2. สร้างแกนของกราฟ โดยให้ X1 (โต๊ะ) แทนแกนนอน X2 (เก้าอี้) แทนแกนตั้ง X2 X1

3. นำข้อจำกัดมาหาค่าเพื่อสร้างกราฟ 3.1 4X1 + 2x2 < 60 ถ้า X1 = 0 ; 4(0) + 2X2 = 60 X2 = 30 ถ้า X2 = 0 ; 4X1 + 2 (0) = 60 X1 = 15

3.2 2X1 + 4X2 < 48 ถ้า X1 = 0 ; 2(0) + 4X2 = 48 X2 = 12

4X1 + 2X2 < 60 2X1 + 4X2 < 48 X2 X1 (0,30) A (0,12) E C (24,0) X1 C (24,0) B (15,0)

4X1 + 2X2 < 60 2X1 + 4X2 < 48 X2 D (12,6) X1 (0,30) A (0,12) E X1 C (24,0) B (15,0)

4. หาจุดตัดของสมการ ที่ จุด D 4X1 + 2X2 = 60 ..…. 1 2X1 + 4X2 = 48 …... 2 2 x 1 8X1 + 4X2 = 120 …... 3 3 - 2 6X1 = 72 X1 = 12

แทนค่า X1 = 12 ในสมการที่ 1 4(12) + 2X2 = 60 48 + 2X2 = 60 X2 = 6 จุด D คือ (12 , 6)

5. เลือกค่าที่ดีที่สุด (Optimal Solution) นำจุดมุมทุกจุดที่อยู่ในพื้นที่คำตอบแทนค่าในสมการเป้าหมาย Max Z = 8X1 + 6X2 จุด E (0,12) = 8(0) + 6(12) = 72 D (12,6) = 8(12) + 6(6) = 132 B (15,0) = 8(15) + 6(0) = 120 O (0,0) = 8(0) + 6(0) = 0 ที่ จุด D : X1 = 12 , X2 = 6 ให้ค่า Z สูงสุด = 132

สรุป ผลิตโต๊ะ X1 = 12 ตัว/สัปดาห์ ผลิตเก้าอี้ X2 = 6 ตัว/สัปดาห์ จะได้กำไรสูงสุด = 132 บาท/สัปดาห์

ตัวอย่าง 3.4 บริษัท Pen-Pencil ผลิตดินสอ และปากกาออกจำหน่าย ดินสอได้กำไรแท่งละ 4 บาท ปากกาได้กำไร 6 บาท ในการผลิตปากกา และดินสอต้องใช้วัตถุดิบ 2 ชนิด (A, B) ดินสอ 1 แท่ง ใช้วัตถุดิบ A จำนวน 1 หน่วย วัตถุดิบ B จำนวน 6 หน่วย ปากกา 1 แท่ง ใช้วัตถุดิบ A จำนวน 2 หน่วย วัตถุดิบ B จำนวน 4 หน่วย ถ้าในสัปดาห์หน้าทางบริษัทมีวัตถุดิบ A เพียง 8 หน่วย และมีวัตถุดิบ B เพียง 24 หน่วย บริษัทควรวางแผนการผลิตอย่างไร เพื่อให้ได้กำไรสูงสุด