MATRIX จัดทำโดย น.ส. ปิยะนุช เจริญพืช เลขที่ 9 น.ส. ปิยะนุช เจริญพืช เลขที่ 9 น.ส. มุทิตา บึงกะเชียง เลขที่ 11 น.ส. วิภาวดี วรรณโชติ เลขที่ 14 น.ส. ศิริวรรณ บุษษะ เลขที่ 15 ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 5/10

บทนิยาม ถ้า A= 𝑎 𝑖𝑗 𝑚 𝑥 𝑛 และ 𝐵= 𝐴= 𝑏 𝑖𝑗 nxr ผลคูณ 𝐴 𝑥 𝐵 หรือ 𝐴𝐵 คือ เมทริกซ์ 𝐶= 𝑐 𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑟 โดยที่ 𝑐 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑖𝑗 + 𝑎 𝑖2 𝑏 𝑖2 +…+ 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑖𝑗 ตัวอย่าง จงหา AB และ BA เมื่อกำหนดให้ 𝐴 = 1 0 2 1 และ 𝐵= 1 −3 4 5 วิธีทำ 𝐴𝐵 = 1 0 2 1 1 −3 4 5 = 1 −1 +0(4) 1 −3 +0(5) 2 1 +1(4) 2 −3 +1(5) = 1 −3 6 −1

วิธีทำ 𝐵𝐴 = 1 −3 4 5 1 0 2 1 = 1 1 +−3(2) 1 0 +−3(1) 4 1 +5(2) 4 0 +5(1) = −5 −3 14 5 ตัวอย่าง กำหนดให้ A = 1 −1 3 2 2 −2 3 −3 1 และ B = −1 0 2 2 0 −1 จงหา AB

วิธีทำ AB = 1 −1 3 2 2 −2 3 −3 1 −1 0 2 2 0 −1 = 1 −1 +−1 2 +3(0) 1 0 +−1 2 +3(−1) 2 −1 +2 2 +−2(0) 2 0 +2 2 +−2(−1) 3 −1 +−3 2 +1(0) 3 0 +−3 2 +1(−1) = −3 −5 2 6 −9 −7

ตัวอย่างที่ 14 จงหา AB และ BA เมื่อกำหนดให้ 𝐴= 2 −3 −3 2 และ 𝐵= 1 2 2 1 วิธีทำ 𝐴𝐵= 2 −3 −3 2 1 2 2 1 = 2 1 + −3 2 2 2 + −3 1 −3(1)+2(2) −3 2+2(1) = −4 1 1 −4 𝐵𝐴= 1 2 2 1 2 −3 −3 2 = 1 2 +2(−3) 1 −3 +2(2) 2 2 +1(−3) 2 −3 +1(2)

ตัวอย่างที่ 15 กำหนดให้ 𝐴= 1 2 0 3 จงหา (1) 𝐴 2 (2) 𝐴 2 𝑥 𝐴(3) 𝐴 𝑥𝐴 2 วิธีทำ (1) 𝐴 2 = 1 2 0 3 1 2 0 3 = 1 1 +2(0) 1 2 +2(3) 0 1 +9(0) 0 2 +3(3) = 1 8 0 9 (2) 𝐴 2 𝑥 𝐴 = 1 8 0 9 1 2 0 3 = 1 1 +8(0) 1 2 +8(3) 0(1)+9(0) 0 2 +9(3) = 1 26 0 27

(3) 𝐴 𝑥𝐴 2 = 1 2 0 3 1 8 0 9 = 1 1 +2(0) 1 8 +2(9) 0 1 +3(0) 0 8 +3(9) = 1 26 0 27

แบบฝึกหัด จงหาผลคูณต่อไปนี้ 1 แบบฝึกหัด จงหาผลคูณต่อไปนี้ 1. 1 3 2 4 0 1 −1 2 วิธีทำ 1 3 2 4 0 1 −1 2 = 1 0 +3(−1) 1 1 +3(2) 2 0 +4(−1) 2 1 +4(2) = −3 7 −4 10

จงหาเมทริกซ์โดยแก้สมการต่อไปนี้ 𝑥+ 2 −3 0 2 =2 −1 4 2 0 วิธีทำ𝑥+ 2 −3 0 2 = −1×2 4×2 2×2 0×2 𝑥+ 2 −3 0 2 = −2 8 4 0 𝑥 = −2 8 4 0 − 2 −3 0 2 𝑥 = −4 11 4 −2

2 3 −1 2 2 4 3 −2𝑥 = 5 0 3 −2 1 −1 วิธีทำ 6 −2 4 4 8 6 −2𝑥 = 5 0 3 −2 1 −1 1 −2 1 6 7 7 = 2𝑥 1 2 −1 1 2 3 7 2 7 2 = 𝑥

กำหนดให้ A= 0 1 3 5 , B= 2 −1 0 3 , C= 1 0 0 1 , D= 0 0 0 0 จงหา 1)BA 2) AB 3) CB 4) DB 5) 𝐴 2 6) 𝐶 2 1)BA = 2 −1 0 3 0 1 3 5 = 2 0 +(−1)(3) 2 1 +(−1)(5) 3 −2 +3(3) 0 1 +3(5) = 0+(−3) 2+(−5) −6 +9 0+15 = −3 −3 9 15

2) AB = 0 1 3 5 2 −1 0 3 = 0 2 +1(0) 0 −1 +(−1)(5) 3 2 +5(0) 3 −1 +3(5) = 0+0 0+(−5) 6+0 −3 +15 = 0 −5 6 12 3)CB= 1 0 0 1 2 −1 0 3 = 1 2 +0(0) 1 −1 +0(3) 0 2 +1(0) 0 −1 +1(3) = 2+0 −1 +0 0+0 0+3 = 2 −1 0 3

3) CB= 1 0 0 1 2 −1 0 3 = 1 2 +0(0) 1 −1 +0(3) 0 2 +1(0) 0 −1 +1(3) = 2+0 −1 +0 0+0 0+3 = 2 −1 0 3 4) DB= 0 0 0 0 2 −1 0 3 = 0 2 +0(0) 0 −1 +0(3) 0 2 +0(0) 0 −1 +0(3) = 0+0 0+0 0+0 0+0 = 0 0 0 0

5) 𝐴 2 = 0 1 3 5 0 1 3 5 = 0 0 +1(3) 0 1 +1(5) 3 0 +5(3) 3 1 +5(5) = 0+3 0+5 0+15 3+25 = 3 5 15 28 6.) 𝐶 2 = 1 0 0 1 1 0 0 1 = 1 1 +0(0) 1 0 +0(1) 0 1 +1(0) 0 0 +1(1) = 1+0 0+0 0+0 0+1 = 1 0 0 1

จงหาผลคูณในข้อที่หาได้ ข้อที่หาไม่ได้ให้บอกด้วยว่าเพราะเหตุใด 2 1 3 0 5 4 ตอบ ไม่มีคำตอบเนื่องจากไม่สามารภคูณกันได้เพราะหลักตัวหน้าไม่เท่ากับแถวของตัวหลัง 2) 2 4 5 7 7 3 −1 0 1 0 5 4 4 3 3 4 วิธีทำ 2 4 5 7 7 3 −1 0 1 0 5 4 4 3 3 4 = 2+20+20+2 0+16+15+28 7+15−4+0 0+12−3+0 = 63 59 18 9

1. 1 −1 1 2 𝑥 𝑦 = 2 4 วิธีทำ 1 𝑥 −1(𝑦) 1 𝑥 +2(𝑦) = 2 4 𝑥−𝑦 𝑥+2𝑦 = 2 4 x-y =2 …….1 x+2y=4…….2 -3y=-2……1+2 Y=2/3 แทนค่า y ลงใน 1 x-2/3 = 2 x= 2+2/3 x= 8/3 ดังนั้น ค่า x เท่ากับ 8/3 ค่า y = 2/3

2. 2 3 −2 5 𝑥 𝑦 = 5 1 2 𝑥 +3(𝑦) −2𝑥+5𝑦 = 5 1 2x-3y =5……. 1 -2x+5y=1…… 2. 2 3 −2 5 𝑥 𝑦 = 5 1 2 𝑥 +3(𝑦) −2𝑥+5𝑦 = 5 1 2x-3y =5…….1 -2x+5y=1…….2 8y=6………1+2 Y=6/8 แทนค่า y ลงใน 1 2X+3 (6/8) =5 2x= 5(8/8)- 18/8 2x= 40/8-18/8 X= 11/8 ดังนั้น ค่า x = 11/8 ค่า y = 6/8

สมบัติการคูณเมทริกซ์ ด้วยเมทริกซ์ มีสมบัติปิดการคูณ ไม่มี สมบัติการสลับที่ของการคูน มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ มีเอกลักษณ์การคูณ มีสมบัติการแจกแจง การขาดสมบัติเกี่ยวกับการคูณบางประการเช่นนี้ ทำให้ต้อง ระมัดระวัง ในการคิดคำนวณ เกี่ยวกับเมทริกซ์ในบางเรื่อง เช่น 1.ในเรื่องของสมการเมทริกซ์ ถ้า A,B และ C เป็มเมทนฃริซ์จัตุรัส และ A=B แล้ว 1.) AC=BC 2.) CA=CB 3.) CA ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ BC

2. ใช้สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณไม่ได้ กล่าวคือ เมทริกซ์AB=AC แล้ว B และ C ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน เช่น A = 1 1 2 2 , B = 6 2 0 9 และ C = 1 8 5 3 AB = AC = 6 11 12 22 แต่ B≠C 3. ถ้า AB =0 แล้วไม่จำเป็นที่เมทริกซ์A หรือ B จะต้องเป็น 0 เช่น 0 1 0 2 1 3 0 0 = 0 0 0 0

สรุปสมบัติเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณ ถ้า A= 𝑎 𝑖𝑗 𝑚 𝑥 𝑛 𝐵= 𝐴= 𝑏 𝑖𝑗 nxp และ 𝐶= 𝑐 𝑖𝑗 𝑝𝑥𝑞แล้ว A(BC) = (AB)C 0A=0 = A0 ImA=A , AIn= A (cA)B = A(cB = c(AB) เมื่อ c เป็นค่าคงตัว A(B+D) = AB + AD เมื่อ D เป็น nxpเมทริกซ์ (A+E)B = AB + EB เมื่อ E เป็น mxnเมทริกซ์

โจทย์เพิ่มเติม 1.กำหนดให้ 𝐴= 1 −1 2 0 3 2 , 𝐵= 1 5 2 −2 0 1 จงหา AB และ BA วิธีทำ (1) 𝐴𝐵= 1 −1 2 0 3 2 1 5 2 −2 0 1 = 1 1 +2(−2) 1 5 +2(0) 1 2 +2(1) −1 1+0(−2) 3 1 +2(−2) −1 5+0(0) 3(5)+2(0) −1 2+0(1) 3 2 +2(1) = −3 −1 5 4 −5 −2 −1 15 8

2.กำหนดให้ 𝐴= −1 2 −1 3 4 −3 4 −2 −3 3 2 −4 , 𝐵= −4 3 2 −3 2 1 −5 2 3 1 1 2 จงหา AB และ BA วิธีทำ (1) 𝐴𝐵= −1 2 −1 3 4 −3 4 −2 −3 3 2 −4 −4 3 2 −3 2 1 −5 2 3 1 1 2 = −1 −4 +2 2 +(−1)(−3) −1 3 +2 1 +(−1)(1) −1 2+2 −5 + −1 1 −1 −3 +2 2 + −1 2 3 −4 +4 2 +(−3)(−3) 3(3)+4(1)+(−3)1 3 2 +4 −5 + −3 1 3(−3)+4(2)+(−3)2 4 −4 + −3 2 +2(−3) −2 −4 +3 2 +(−4)(−3) 4 3 + −3 1+2(1) −2 3+3 1 + −44 1 4 2 + −3 (−5)+2(1) −2 2+3 −5 + −4 1 4 −3 + −3 2+2(2) −2 −3 +3 2 + −4 2 = 11 −2 −13 5 13 10 −17 −7 28 36 11 −7 25 −23 −14 4

Matrix จบแว้วววววว