งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

Faculty of Informatics, Burapha University 11 Summations and Mathematical Induction Benchaporn Jantarakongkul.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "Faculty of Informatics, Burapha University 11 Summations and Mathematical Induction Benchaporn Jantarakongkul."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 Faculty of Informatics, Burapha University 11 Summations and Mathematical Induction Benchaporn Jantarakongkul

3 Faculty of Informatics, Burapha University 22 Summation Notation กำหนดลำดับ {a n }, จำนวนเต็มที่เป็นขอบ ล่าง (lower bound) j  0, และจำนวนเต็มที่เป็น ขอบบน (upper bound) k  j, ดังนั้นผลรวมของ {a n } จาก j ถึง k นิยามได้ดังนี้ : กำหนดลำดับ {a n }, จำนวนเต็มที่เป็นขอบ ล่าง (lower bound) j  0, และจำนวนเต็มที่เป็น ขอบบน (upper bound) k  j, ดังนั้นผลรวมของ {a n } จาก j ถึง k นิยามได้ดังนี้ : ในที่นี้เรียก i ว่าดัชนีของการบวก ในที่นี้เรียก i ว่าดัชนีของการบวก

4 Faculty of Informatics, Burapha University 33 Simple Summation Example หรือใช้ฟังก์ชั่นข้อความ (predicate) ในการนิยามเซต ของสมาชิก ที่จะนำมาหาผลรวมได้ เช่น : หรือใช้ฟังก์ชั่นข้อความ (predicate) ในการนิยามเซต ของสมาชิก ที่จะนำมาหาผลรวมได้ เช่น : ( )

5 Faculty of Informatics, Burapha University 44 Summation Examples การเขียนสัญลักษณ์แทนผลรวม 1000 เทอมของ ลำดับ {a n } เมื่อกำหนด a n =n 2 โดยที่ n = 1, 2, 3, … ? การเขียนสัญลักษณ์แทนผลรวม 1000 เทอมของ ลำดับ {a n } เมื่อกำหนด a n =n 2 โดยที่ n = 1, 2, 3, … ? จะได้ว่า = 21 จะได้ว่า = 21 เขียนได้ดังนี้ ตัวอย่างนี้ หากค่อยๆหาผลรวมจนครบทุกเทอมอาจ ต้องใช้เวลานาน … จงหาค่าของ ?

6 Faculty of Informatics, Burapha University 55 Euler’s Trick ในการหาสูตรรูปแบบปิด ของ พิจารณาผลรวม ต่อไปนี้ : 1+2+…+(n/2)+((n/2)+1)+…+(n-1)+n พิจารณาผลรวม ต่อไปนี้ : 1+2+…+(n/2)+((n/2)+1)+…+(n-1)+n จะเห็นว่ามีสมาชิกทั้งหมด n/2 คู่ แต่ละคู่ รวมกันมีค่าเท่ากับ n+1, ดังนั้นผลรวมทั้งหมด จึงมีค่าเท่ากับ (n/2)(n+1) จะเห็นว่ามีสมาชิกทั้งหมด n/2 คู่ แต่ละคู่ รวมกันมีค่าเท่ากับ n+1, ดังนั้นผลรวมทั้งหมด จึงมีค่าเท่ากับ (n/2)(n+1) ทำให้สามารถหาผลรวมได้ ง่ายขึ้น ตัวอย่าง เช่น : ทำให้สามารถหาผลรวมได้ ง่ายขึ้น ตัวอย่าง เช่น : … n+1

7 Faculty of Informatics, Burapha University 66 Summation Manipulations เอกลักษณ์การหาผลรวม เช่น : เอกลักษณ์การหาผลรวม เช่น : ( กฎการแยกสัมประสิทธิ์ ) ( กฎการ กระจาย ) ( การแยกอนุกรม ) ถ้า j  m  k

8 Faculty of Informatics, Burapha University 7 Example จงหาค่าของ จงหาค่าของ =5∙11∙21- 10∙11+40 = 1085# =5∙11∙21- 10∙11+40 = 1085# 7

9 Faculty of Informatics, Burapha University 88 Some Shortcut Expressions อนุกรมเรขาคณิต (Geometric series) กฎของออยเลอร์ (Euler’s trick) อนุกรมกำลังสอง (Quadratic series) อนุกรมกำลังสาม (Cubic series)

10 Faculty of Informatics, Burapha University 99 Using the Shortcuts ตัวอย่าง เช่น : จงหาค่า. ตัวอย่าง เช่น : จงหาค่า. – ใช้กฎการแยกอนุกรม – หาค่าผลรวมที่ต้องการ – ใช้กฎอนุกรมกำลังสอง – คำนวณหาค่า

11 Faculty of Informatics, Burapha University 10 Nested Summations ตัวอย่าง จงหาค่าผลรวมต่อไปนี้ ตัวอย่าง จงหาค่าผลรวมต่อไปนี้ ตัวอย่าง : ตัวอย่าง :

12 Faculty of Informatics, Burapha University 11 Mathematical Induction

13 Faculty of Informatics, Burapha University 12 Mathematical Induction หลักของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการ พิสูจน์เพื่อให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นของประพจน์ใดๆเป็นจริง สำหรับเลขจำนวนนับทุกจำนวน ( คือใช้พิสูจน์ ประพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ  n P(n) ว่าเป็นจริง เมื่อ n  N) หลักของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการ พิสูจน์เพื่อให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นของประพจน์ใดๆเป็นจริง สำหรับเลขจำนวนนับทุกจำนวน ( คือใช้พิสูจน์ ประพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ  n P(n) ว่าเป็นจริง เมื่อ n  N) ถ้าเรามีฟังก์ชั่นของประพจน์ P(n) และเราต้องการ พิสูจน์ว่า P(n) นั้นเป็นจริง สำหรับทุกค่าจำนวนนับ n พิสูจน์ได้ดังนี้ : ถ้าเรามีฟังก์ชั่นของประพจน์ P(n) และเราต้องการ พิสูจน์ว่า P(n) นั้นเป็นจริง สำหรับทุกค่าจำนวนนับ n พิสูจน์ได้ดังนี้ : [Basis step] ต้องแสดงว่า P(0) เป็นจริง[Basis step] ต้องแสดงว่า P(0) เป็นจริง [Inductive step]  k P(k)  P(k+1) คือ ต้องแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k + 1) เป็นจริง สำหรับทุก ค่า k  N[Inductive step]  k P(k)  P(k+1) คือ ต้องแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k + 1) เป็นจริง สำหรับทุก ค่า k  N [Conclusion] ดังนั้น P(n) ต้องเป็นจริง สำหรับทุก ค่า n  N[Conclusion] ดังนั้น P(n) ต้องเป็นจริง สำหรับทุก ค่า n  N

14 Faculty of Informatics, Burapha University 13 Example 1 จงพิสูจน์ว่า  n  1 P(n) โดยที่ P(n) = “ ผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่เป็นคี่ n ตัวแรก มีค่าเท่ากับ n 2 ” หมายถึงการพิสูจน์ว่า : หมายถึงการพิสูจน์ว่า : พิสูจน์โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พิสูจน์โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ –Basis step : ให้ n=1 ผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่ เป็นคี่ 1 ตัวแรก มีค่าเท่ากับ 1 2 ( จริง ) P(n)P(n)

15 Faculty of Informatics, Burapha University 14 Example 1 Inductive step: พิสูจน์ว่า  k  1: P(k)  P(k+1)Inductive step: พิสูจน์ว่า  k  1: P(k)  P(k+1) – กำหนดให้ k  1, สมมติ P(k) เป็นจริง และพิสูจน์ว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย ดังนั้น จากหลักของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ ว่า P(n) จริง นั่นคือผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่ เป็นคี่ n ตัวแรก มีค่าเท่ากับ n 2 ดังนั้น จากหลักของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ ว่า P(n) จริง นั่นคือผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่ เป็นคี่ n ตัวแรก มีค่าเท่ากับ n 2 จากสมมติฐานที่ว่า P(k) เป็นจริง

16 Faculty of Informatics, Burapha University 15 Example 2 จงแสดงว่า สำหรับ n ทุกจำนวนซึ่งเป็นจำนวน เต็มที่มีค่าไม่เป็นลบ จงแสดงว่า สำหรับ n ทุกจำนวนซึ่งเป็นจำนวน เต็มที่มีค่าไม่เป็นลบ …+2 n = 2 n+1 –1 ให้ P(n) เป็นประพจน์ซึ่งทำให้สูตรข้างต้นเป็น จริง ให้ P(n) เป็นประพจน์ซึ่งทำให้สูตรข้างต้นเป็น จริง Basis step: P(0) เป็นจริง เพราะ 2 0 =1= Basis step: P(0) เป็นจริง เพราะ 2 0 =1= Inductive step: สมมติว่า P(k) เป็นจริงInductive step: สมมติว่า P(k) เป็นจริง ต้องแสดงว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย

17 Faculty of Informatics, Burapha University 16 Example 2 - Inductive Step P(k) เป็นจริง หมายความว่า …+2 k = 2 k+1 –1P(k) เป็นจริง หมายความว่า …+2 k = 2 k+1 –1 เราจำเป็นต้องแสดงว่า …+2 k+1 = 2 (k+1)+1 –1 เราจำเป็นต้องแสดงว่า …+2 k+1 = 2 (k+1)+1 – …+2 k+1 = …+2 k +2 k+1 = (2 k+1 –1) +2 k+1 = (2 k+1 –1) +2 k+1 = 2.2 k+1 – 1 = 2.2 k+1 – 1 = 2 k+2 –1 = 2 k+2 –1 จากทั้งสองขั้นตอนตามหลักอุปนัยเชิง คณิตศาสตร์ จึงสรุปได้ว่า …+2 k = 2 k+1 –1 จริง □ จากทั้งสองขั้นตอนตามหลักอุปนัยเชิง คณิตศาสตร์ จึงสรุปได้ว่า …+2 k = 2 k+1 –1 จริง □

18 Faculty of Informatics, Burapha University 17 Example 3 ตัวอย่าง : สำหรับจำนวนเต็มใดๆ n ≥ 1 จะได้ว่า Proof: Basis step : เมื่อ n = 1 สมการข้างบนเป็นจริง เพราะ Inductive step: สมมติสมการข้างต้นเป็นจริงที่ k นั่นคือ สมมติว่า และพิสูจน์ให้ได้ว่าสมการยังคงเป็นจริงที่ k+1 ด้วย

19 Faculty of Informatics, Burapha University 18 Example 3 ดังนั้น จะได้ว่า, นั่นคือ สมการยังคงเป็นจริงที่ k+1 เสร็จสิ้นการพิสูจน์ขั้นตอน inductive step ดังนั้นสรุปได้ว่า P(n) ต้องเป็นจริง สำหรับจำนวนใดๆ n  N นั่นคือ … + n = n (n + 1)/2 เป็นจริงสำหรับทุกจำนวน n  N □


ดาวน์โหลด ppt Faculty of Informatics, Burapha University 11 Summations and Mathematical Induction Benchaporn Jantarakongkul.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google