ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
4. z 1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z2 1 ( mod 2 )
2
พิสูจน์ ( ) ให้ z 1 ( mod 2 ) จะมี a I ที่ซึ่ง z - 1 = 2a
ดังนั้น z2 = ( 2a + 1 )2 = 4a2 + 4a + 1 = ( 2a2 + 2a ) จะได้ว่า z = 2 ( 2a2 + 2a ) นั่นคือ z2 1 ( mod 2 )
3
z 1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z2 1 ( mod 2 )
จะมี a I ที่ซึ่ง z = 2a นั่นคือ z2 = 4a2 = 2 ( 2a2 ) ดังนั้น z2 1 ( mod 2 ) เพราะฉะนั้นจะได้ว่า z 1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z2 1 ( mod 2 )
4
ย้อนกลับไปที่สมการ ( 3 )
x2 + p = 2n ถ้า (x, n) เป็นผลเฉลยของสมการแล้ว x ต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีบทประกอบต่อไปนี้
5
ทฤษฎีบทประกอบ 1 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 ถ้า ( x0 , n0 ) เป็นผลเฉลยของสมการ x2 + p = 2n แล้วจะได้ว่า x0 จะเป็นจำนวนเต็มคี่
6
พิสูจน์ ให้ ( x0 , n0 ) เป็นผลเฉลยของสมการ x2 + p = 2n ดังนั้น x02 + p = 2n0 นั่นคือ x02 = 2n0 - p …………… ( 1 ) จาก p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ จะได้ว่า p 1 ( mod 2 ) และ n0 0 ( mod 2 )
7
ดังนั้น n0 - p ( mod 2 ) 2n0 - p ( mod 2 ) จาก ( 1 ) จะได้ว่า x02 ( mod 2 ) ดังนั้น x 1 ( mod 2 ) ( โดยสมบัติของคอนกรูเอนซ์ ข้อ 4 ) จะได้ว่า x0 1 ( mod 2 ) นั่นคือ x เป็นจำนวนเต็มคี่
8
ทฤษฎีบทประกอบ 2 ถ้า y เป็น จำนวนเต็มคี่
แล้ว y 2 1 ( mod 8 )
9
พิสูจน์ เนื่องจากเราใช้ตัวเลขในมอดุโล 8 จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะจำนวนเต็ม 0 , 1 , 2 , … , 7 เพราะจำนวนเต็มใดๆจะคอนกรูเอนซ์กับจำนวนใดจำนวนหนึ่งของจำนวนเหล่านี้มอดุโล 8 จาก y เป็นจำนวนคี่ จะเห็นว่า y คอนกรูเอนซ์กับจำนวน 1 , 3 , 5 หรือ 7 มอดุโล 8
10
เนื่องจาก ถ้า y 1 (mod 8) แล้ว y2 = 1 1 ( mod 8 ) ถ้า y 3 (mod 8) แล้ว y2 = 9 1 ( mod 8 ) ถ้า y 5 (mod 8) แล้ว y2 = 25 1 ( mod 8 ) ถ้า y 7 (mod 8) แล้ว y2 = 49 1 ( mod 8 ) ดังนั้น y2 ( mod 8 )
11
Proposition ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8 ถ้า p = 3 แล้ว สมการ ( 3 ) จะมีเฉลยเพียงผลเฉลยเดียวคือ ( 1 , 2 ) ไม่เช่นนั้นสมการ ( 3 ) จะไม่มีผลเฉลย x2 + p = 2 n
12
พิสูจน์ พิจารณาสมการ x2 + p = 2n p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 กรณีที่ 1 ให้ n = จะได้ x2 + p = 2 เพราะว่า p > 3 เห็นได้ชัดว่า ไม่มีจำนวนเต็ม x0 ใดๆที่ทำให้ x02 + p = 2
13
กรณีที่ ให้ n = จะได้ x p = 4 เมื่อ p = 3 จะมีผลเฉลยเดียว คือ ( 1 , 2 ) ถ้า p > 3 จะไม่มีจำนวนเต็ม x0 ที่ทำให้ x p = 4
14
กรณีที่ 3 ถ้า n > 3 กำหนดให้ n = 3 + k
ดังนั้น 2n = k = k = k นั่นคือ 2 n หารด้วย ลงตัว จะได้ว่า 2 n 0 ( mod 8 )
15
สมมติว่าสมการ ( 3 ) มีผลเฉลย คือ ( x0 , n0 )
โดยที่ n0 > 3 ดังนั้น x p = 2 n พิจารณาสมการมอดุโล 8 ให้ x p ( mod 8 ) x - p ( mod 8 ) โดยทฤษฎีบทประกอบ 1 x0 เป็นคำตอบของสมการ x2 + p = 2 n จะได้ว่า x0 จะต้องเป็นจำนวนคี่
16
แต่เราสมมุติไว้ว่า p ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8
ดังนั้น x02 1 ( mod 8 ) ( โดยทฤษฎีบทประกอบ 2 ) นั่นคือ p ( mod 8 ) ดังนั้น p ( mod 8 ) แต่เราสมมุติไว้ว่า p ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8 จึงสรุปได้ว่าสมการไม่มีคำตอบ
17
สรุป หลังจากที่ได้พิจารณาสมการ x2 + p = 2 n ได้บทสรุปคือ
18
1. ถ้าสมการจะมี ( x0 , n0 ) เป็นผลเฉลย แล้ว x0 จะต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ และ x02 1 ( mod 8 )
2. ถ้า p = 3 แล้ว x = 2 n มีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว คือ ( 1 , 2 ) 3. ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่มากกว่า 3 และ p ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8 แล้วสมการ ( 3 ) จะไม่มีผลเฉลย
19
ตัวอย่างโปรแกรมที่ใช้ในการคำนวณ
20
ตัวอย่างโปรแกรมที่ใช้ในการคำนวณ
21
THE END
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
