งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

(Tiling Deficient Boards with Trominoes) โดย นายสุธี ทวีวัฒนานนท์ 42040733 วิชา สัมมนา (417497) G ameTromoeins.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "(Tiling Deficient Boards with Trominoes) โดย นายสุธี ทวีวัฒนานนท์ 42040733 วิชา สัมมนา (417497) G ameTromoeins."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 (Tiling Deficient Boards with Trominoes) โดย นายสุธี ทวีวัฒนานนท์ วิชา สัมมนา (417497) G ameTromoeins

3 Board ขนาด 7 x 7 คำถามก็คือ สมมติว่าเราตัดช่องใดช่องหนึ่งออกจาก board ขนาด 7x7 เราจะสามารถวาง trominoes

4 Trominoes แทนช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 รูปซึ่งประกอบเข้าด้วยกัน และ “ การวางได้พอดี ” คือ การวาง trominoes ให้เต็มพอดีในช่องที่เหลือ โดยไม่มีการซ้อนทับกันหรือเกินออกมานอก board ที่กำหนด

5 board ขนาด 7 x 7 สามารถวาง trominoes ลงในช่องที่ เหลือได้พอดี

6 Board ขนาด 7 x 7 Deficient 7 x 7 Board

7 เราต้องการศึกษาเกี่ยวกับ 1. การหาเงื่อนไขในการเลือกช่องที่จะตัด ออกจาก board ขนาดต่าง ๆ ซึ่งมีผลทำให้สามารถวาง “trominoes” ได้พอดี 2. การหาเงื่อนไขว่า “deficient board” ขนาดใดบ้าง ที่จะสามารถวาง “trominoes” ได้พอดี

8 เช่น ในกรณี deficient 7x7 board หาก เราทำการศึกษาต่อไปจะพบว่า เงื่อนไขในการเลือกช่องที่ตัดออกจะไม่มี ผลต่อการวางได้พอดี เพราะทุก ๆ deficient 7 x 7 board เราจะ สามารถวางได้พอดี แต่ในกรณี deficient 5 x 5 board จะมีเพียงแบบที่ตัดช่องตรงมุมออกเท่านั้น จึงจะ สามารถวางได้พอดี

9 Proposition 1 : ทุก ๆ deficient 2 k x 2 k board ; k > 1 จะ สามารถวางได้พอดี Proof : จะแสดงการพิสูจน์โดย induction กรณีที่ k=1 ; เราจะได้ deficient 2 x 2 board ซึ่งสามารถวางได้ พอดี

10 2 k+1 สมมติให้กรณีที่ deficient 2 k x 2 k board เป็นจริง ; 2 k x2 k พิจารณา deficient 2 k+1 x 2 k+1 board

11 2 k+1 จากข้อสมมติจะได้ว่า deficient board ย่อย นี้จะสามารถวางได้พอดี

12 2 k+1 2 k x2 k จากข้อสมมติจะได้ว่า deficient board ย่อย ทั้ง 3 นี้ สามารถวางได้พอดี กรณีที่ deficient 2 k+1 x 2 k+1 board เป็นจริง ดังนั้น ทุกๆ deficient 2 k x 2 k board ; k > 1 สามารถ วางได้พอดี วาง trominoes T ลงใน board

13 Proposition 2 : board ขนาด 5 x 5 ที่ตัด ช่องตรงมุมออกสามารถวาง ได้พอดี Proof : หากเราตัด 2 แถวบนสุดและสองแถวซ้ายสุด ออกไปจาก deficient 7 x 7 board ข้างต้น

14 3 2 Proposition 3 : board ขนาด (2i) x (3j) ; i, j > 1 สามารถ วางได้พอดี Proof : ซึ่งสี่เหลี่ยมนี้สามารถวางลงใน board ขนาด (2i) x (3j) ได้เต็มพอดี ดังนั้น board ขนาด (2i) x (3j) ; สามารถวางได้พอดี

15 Proposition 4 : ทุก ๆ deficient 7x7 board สามารถวาง ได้พอดี Proof : เราจะพิจารณา 7x7 board ซึ่งตัดช่องที่ ( i,j ) ; i < j < 4 เท่านั้น ซึ่งช่องที่ตัดออก ได้แก่ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,3), (2,4), (3,3), (1,3), (4,4)

16 3 x 2 Deficient 5 x 5 2 x 3 พิจารณาการตัดออกแต่ละช่อง ดังนี้ ในกรณีที่ตัดช่อง (1,1) ออกจาก board เราจะ สามารถวางได้พอดี โดย board ย่อยขนาด 3x2 และ 2x3 สามารถวางได้พอดีจาก proposition 3 และ board ย่อยขนาด 5x5 ซึ่งตัดช่องตรงมุมออกสามารถวางได้ พอดีจาก proposition2

17 3 x 2 Deficient 5 x 5 2 x 3 3 x 2 Deficient 5 x 5 2 x 3 ในกรณีที่ตัดช่อง (1,2) หรือ (2,2) ออกจาก board

18 4 x 3 3 x 4 4 x 3 3 x 2 ในกรณีที่ตัดช่อง (1,3) ออก เราจะสามารถวางได้พอดี โดย board ย่อยขนาด 3 x 4 และ 4 x 3 สามารถวางได้พอดี จาก proposition 3

19 3x2 4x3 3x2 4x3 3x4 ในกรณีที่ตัดช่อง (1,4) หรือ (2,3) หรือ (2,4) ช่องใดช่องหนึ่งออก

20 ในกรณีที่ตัดช่อง (3,3) ออกจะสามารถวางได้พอดี

21 2 x 3 3 x 2 ในกรณีที่ตัดช่อง (3,4) ออกจะสามารถวางได้พอดี

22 4 x 3 3 x 4 4 x 3 3 x 2 ในกรณีตัดช่อง (4,4) ออกจะสามารถวางได้พอดี จากในทุกๆกรณีข้างต้นทำให้ board ขนาด 7 x 7 สามารถวางได้พอดี เมื่อตัดช่องที่ (i,j) ; i < j < 4 ดังนั้น จากคุณสมบัติ สมมาตร จะได้ว่า ทุก ๆ deficient 7 x 7 board สามารถวางได้พอดี

23 พิจารณาในกรณีทั่วๆไป Theorem 1 : เราสามารถวาง trominoes ลงใน deficient n x n board ใดๆ ได้พอดีถ้า n เป็นเลขคี่, n > 5 และ 3 n

24 5 x 5 4 x 6 6 x 4 7 x 7 11 จาก Proposition 4 จะได้ว่า deficient 7 x 7 board ย่อย นี้สามารถวางได้พอดี จาก Proposition 3 จะได้ว่า board ย่อย ขนาด 6 x 4 และ 4 x 6 สามารถวางได้พอดี จาก Proposition 2 จะได้ว่า board ย่อย ขนาด 5 x 5 ซึ่งตัดตรงมุมออก สามารถวางได้พอดี

25 ต่อไปจะแสดงการพิสูจน์โดยใช้ induction ให้ n เป็นเลขคี่, n > 11 และ 3 n และสมมติให้ deficient k x k board โดยที่ k เป็นเลขคี่, k > 5, 3 k สามารถวางได้พอดี โดยจะแสดงให้ได้ว่า deficient (k+1) x (k+1) board สามารถวางได้พอดีด้วย จาก n > 11 ดังนั้น n – 6 > 5 จาก n เป็นเลขคี่ ดังนั้น n – 6 เป็นเลขคี่ จาก 3 n ดังนั้น 3 (n-6) เลือก k เป็น (n-6) ซึ่งจากข้อสมมติจะได้ว่า deficient (n-6) x (n-6) board สามารถวางได้พอดี

26 7 x 7 7 x (n-6) (n-6) x 7 (n-6) x (n-6) n n จะพิสูจน์ว่า deficient (k+1)x(k+1) board สามารถวางได้พอดี

27 Theorem 2 : เราสามารถวาง trominoes ลงใน deficient n x n board ใด ๆ ได้พอดี ถ้า n เป็นเลข คู่, n > 1 และ 3 n Proof : ในกรณีที่ n = 2,4,8 ; ได้แสดงแล้วใน Proposition 1

28 พิจารณาในกรณีที่ n เป็นเลขคู่, n > 8 และ 3 ł n จาก n เป็นเลขคู่  (n-3) เป็นเลขคี่ จาก n > 8  (n-3) 5 จาก 3 n  3 (n-3) ดังนั้น จาก Theorem 1 ; deficient (n-3) x (n-3) board สามารถวางได้พอดี

29 4 x 4 3 x (n-4) (n-4) x 3 (n-3) x (n-3) n n

30 board ย่อย ขนาด (n-3) x(n-3) ซึ่ง deficient board ย่อยนี้ สามารถวางได้พอดี จาก n เป็นเลขคู่ ดังนั้น (n-4) เป็นเลขคู่ ซึ่งเขียนให้อยู่ในรูป (2i) ; i >1 ได้ ดังนั้น จาก Proposition 3 ; board ย่อยขนาด (n-4) x 3 และ 3 x (n-4) สามารถวางได้พอดี จาก Proposition 1 ; deficient board ย่อยขนาด 4 x 4 สามารถวางได้พอดี ดังนั้น deficient n x n board โดยที่ n เป็นเลขคู่, n > 1 และ 3 n สามารถวาง trominoes ได้พอดี

31 Theorem 3 : ถ้า n 5 จะได้ว่า deficient n x n board ใด ๆ สามารถวาง tromioes ได้พอดี ก็ต่อเมื่อ 3 n Proof : กำหนดให้ n 5 (  ) สมมติให้ deficient n x n board ใด ๆ สามารถวาง ได้พอดี จาก deficient n x n board มีพื้นที่ n 2 -1 ช่อง และ tromioes มีพื้นที่ 3 ช่อง จะได้ว่า 3  ( n 2 -1 ) แต่จาก 3 1 นั่นคือ 3 n 2 ดังนั้น 3 n ด้วย

32 (  ) สมมติให้ 3 n จะแสดงว่า deficient n x n board ใดๆ สามารถวางได้พอดี จาก Theorem 1 และ Theorem 2 จะได้ว่า deficient n x n board ใดๆ สามารถวางได้พอดี ยกเว้นในกรณีที่ n เป็นเลขคี่, n 5 และ 3 n ซึ่งจะทำให้เหลือในกรณีที่ n = 1,3,5 กรณีที่ n = 1 ; จะได้ 1 x 1 board ซึ่งมีพื้นที่ 1 ช่อง ดังนั้นไม่พิจารณาในกรณีนี้ กรณีที่ n = 3 ; จากที่ 3 n ดังนั้นไม่พิจารณาในกรณีนี้ กรณีที่ n = 5 ; จากเงื่อนไขข้างต้นที่ว่า n 5 ดังนั้นไม่ พิจารณาในกรณีนี้ ดังนั้น deficient n x n board ใด ๆ สามารถวางได้พอดี

33 จากการศึกษาจะพบว่า board ขนาด n x n ใดๆ โดยที่ 3 n และ n 5 จะสามารถวางได้พอดี ไม่ว่าเราจะเลือกตัดช่องใดออกก็ตาม และถ้า n = 5 จะต้องเลือกตัดเฉพาะช่องตรงมุมออกเท่านั้น จึงจะสามารถวางได้พอดี


ดาวน์โหลด ppt (Tiling Deficient Boards with Trominoes) โดย นายสุธี ทวีวัฒนานนท์ 42040733 วิชา สัมมนา (417497) G ameTromoeins.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google