งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

หน่วยที่ 15. การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ และ การขยายความเป็นคาบ.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "หน่วยที่ 15. การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ และ การขยายความเป็นคาบ."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 หน่วยที่ 15

2 การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ และ การขยายความเป็นคาบ

3 การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ n= a +  a cos(nωt) +  b sin(nωt) n=1 0 n n เมื่อ = ω 2 p

4 ฟังก์ชันเป็นคาบ f(t) t

5 f(t) t 1 ฟังก์ชันเป็นคาบ

6 f(t) t 1 ค่าของ f(t) ไม่ซ้ำกันจึงไม่เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ

7 กำหนดให้ฟังก์ชัน f(t) จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f(t) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบ เท่ากับ p(p>0) ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละ t ที่อยู่ใน โดเมน จะได้ว่า f(t) = f(t + mp) เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มใดๆ บทนิยาม

8 f(t) t f(t) = sin(t) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่คาบเท่ากับ f(t) = sin(t) = sin(t + 2 ) = f (t+2 ) t A......

9 f(t) t 1 เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ f(t) = 1- t (-1  t  1); f (t + 2) = f(t) f ( ) = f (- + 2) = f (- ) = 1- - = f ( ) = f ( + 2) = f ( ) = 1- = f (- ) = f (- + 2) = f (- ) = f (-2) = f (-2 + 2) = f (0) = 1- 0 = 1

10 เนื่องจาก cos( (t + 4)) = cos ( t + 2 ) = cos ( t) 222 ดังนั้น cos( t ) เป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่คาบ เท่ากับ 4 2

11 ถ้าฟังก์ชันเป็นคาบ f (t) ที่คาบเท่ากับ p = มีการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ 2 ω n= f(t) = a +  a cos(nωt) +  b sin(nωt) n=1 0 n n

12 แล้วสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์คำนวณได้จาก a = f(t)cos( nωt )dt ; n = 0, 1, 2,... 2 p n ∫ d+p d b = f(t)sin( nωt )dt ; n = 1, 2, 3,... 2 p n ∫ d+p d

13 สูตรสำหรับคำนวณสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์เรียกว่า สูตรออยเลอร์ (Euler’s formulae) p2p2 โดยทั่วไปจะเลือก d = 0 หรือ d = - ถ้าเลือก d = 0 เป็นลิมิตล่างของอินทิกรัล แล้วลิมิตบนของอินทิกรัลเท่ากับ p ถ้าเลือก d = - เป็นลิมิตล่างของอินทิกรัล แล้วลิมิตบนของอินทิกรัลเท่ากับ p2p2 p2p2

14 กรณีฟังก์ชันมีความต่อเนื่องเป็นช่วงบนแต่ละคาบ ดูตัวอย่างในภาพ f (t ) = f(t) d 1 2 t f (t) ( - < t < - + d ) 11 f (t) ( - + d < t < ) 32 f (t) ( - + d < t < - +d ) ; f (t+2 )=f (t) 212

15 ให้คำนวณ + f (t)cos(nt)dt ] ; n = 0,1,2, ∫ - +d 2 a = [ f (t)cos(nt)dt + f (t)cos(nt)dt 1 n ∫ - +d ∫ f (t)sin(nt)dt ] ; n = 1,2,3, ∫ - +d 2 b = [ f (t)sin(nt)dt + f (t)sin(nt)dt 1 n ∫ - +d ∫ 2 1 1

16 0 ( -2 < t < -1 ) ตัวอย่าง f(t) = จงหาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน k ( -1 < t < 1 ) ; f ( t + 4 ) = f(t) 0 ( 1 < t < 2 )

17 วิธีทำ f(t) t k

18 ในที่นี้ p = 4 ให้ d = -2 แล้วได้ว่า α = [ 0 dt + k dt + 0 dt ] 0 ∫ ∫ 1 ∫ -2 = [ t ] = [ 1- (-1) ] = k k2k2 1 k2k2

19 และสำหรับ n = 1, 2, 3,... ได้ว่า α = [ 0 cos( ) + k cos ( )dt n 2424 ∫ 1 ∫ -2 2 n t 2 ∫ cos ( )dt ] 2 n t = [ sin ( ) ] 1 2 n t k2k2 2 n n = ( -1) 2k (n - 1) 2 0 เมื่อ n เป็นเลขคี่ เมื่อ n เป็นเลขคู่

20 ∫ n t + 0 sin( )dt ] b = [ 0 sin( )dt + k sin( )dt n 2424 ∫ 1 ∫ -2 2 n t 2 = 0 = ( -1 ) cos( ) 1 k n 2 n t

21 จึงได้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ว่า ซึ่งแจกแจงการกระจายอนุกรมฟูเรียร์จะได้ พจน์ต้นๆ ว่า f (t) = + [ cos ( t ) - cos( t ) 2k2kk f (t) = + cos( t ) n = 1 2k2k 2 k 2  ∞ n - 1 (-1) 2n - 1 (2n - 1) + cos ( t ) - cos( t ) ]

22 ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ f(t) t ฟังก์ชันคู่มีกราฟที่สมมาตรกับแกน y ( =f(t) ) f(t) = cos( t )

23 f(t) = ; f (t+4) = f(t) 0 (-2 < t < -1) k (-1 < t < 1) 0 (1 < t < 2) f(t) t k

24 f(t) t ฟังก์ชันคี่มีกราฟที่สมมาตรกับจุดกำเนิด f(t) = sin( t )

25 f(t) t f(t) = ; f (t+2) = f(t) 1 (0 < t < 1) -1 (1 < t < 2) 1

26 กำหนดให้ฟังก์ชัน f(t) จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f(t) เป็นฟังก์ชันคู่ ก็ ต่อเมื่อ f(t) = f(-t) สำหรับทุกค่า t และจะกล่าวว่า f(t) เป็นฟังก์ชันคี่ ก็ต่อเมื่อ f(t) = -f(-t) สำหรับทุกค่า t บทนิยาม

27 การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ p และเป็นฟังก์ชันคู่ จะได้ การกระจายอนุกรมฟู เรียร์โคซายน์ f (t) = α + α cos( nωt ) ; ω = n = 1 p 1 2  ∞ 2 0 n โดยที่ α = f (t) cos( nωt )dt ; n = 0, 1, 2 n 4p4p ∫ P2P2 0

28 f(t) = ; f (t+4) = f(t) 0 (-2 < t < -1) k (-1 < t < 1) 0 (1 < t < 2)

29 โดยสูตร จะได้ α = f (t) dt ∫ -2 0 = 0 dt + k dt ∫ 0 ∫ -2 = k [ t ] = k [ 0 - (-1) ] = k 0

30 α = f (t) dt n = 1, 2, 3,... n 4444 ∫ -2 0 = 0 cos( )dt + k cos( )dtt ∫ 0 ∫ -2 2 n t 2 = (-1) 2k n 2 n -1 0 ได้ผลลัพธ์เหมือนตัวอย่าง Frame 19 เมื่อ n เป็นเลขคี่ เมื่อ n เป็นเลขคู่

31 การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันเป็นคาบ ที่คาบเท่ากับ p และเป็นฟังก์ชันคี่ จะได้ การกระจายอนุกรมฟู เรียร์โคซายน์ ∞ f (t) = b sin( nωt ) เมื่อ ω = n = 1  p 2 n โดยที่ b = f (t) sin( nωt )dt เมื่อ n = 1, 2, 3,.. n 4p4p ∫ P2P2 0

32 f(t) = ; f (t+2) = f(t) 1 (0 < t < 1) -1 (1 < t < 2) มีคาบ p = 2

33 สำหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้ b = f (t) sin( nt )dt = 2 sin(n t)dt n 4242 ∫ ∫ 1 0 = n 4 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ 0 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่

34 และ การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ซายน์ ว่า f(t) = sin((2n - 1) t ) 4 2 n n = 1  ∞ = [ sin( t ) + sin(3 t ) + sin(5 t ) sin(7 t ) ] 1717

35 การขยายความเป็นคาบ ฟังก์ชัน f (t) ที่นิยมบนช่วงจำกัด เมื่อจะหาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ฟังก์ชัน f(t) t 0 2 f(t) = t ( 0 < t < ) เช่น 2 จะต้องขยายให้เป็นฟังก์ชันเป็นคาบ

36 กำหนดให้ g(t) t 0 1 g(t) = t ( 0 < t < ) ; g ( t + ) = g(t) 2

37 ในที่นี้ p = ให้ d = 0 แล้ว α = g (t) dt 0 2 ∫ 0 = t dt 2 ∫ 0 2 = 2 2 3

38 และสำหรับ n = 1, 2, 3,... = t cos( 2nt )dt 2 ∫ 0 2 α = g(t) cos(n ( t )dt, n = 1, 2, 3,... n 2 ∫ 0 2 = [ } = n 1 nn 1 2

39 = t sin( 2nt )dt 2 ∫ 0 2 b = g(t) sin(n ( t )dt, n = 1, 2, 3,... n 2 ∫ 0 2 = n -

40 จึงได้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ว่า g(t) = + cos( 2nt ) - sin( 2nt ) 3 n 1 n = 1  ∞ 2  ∞ n 1 f(t) = + cos( 2nt ) - sin( 2nt ); 3 n 1 n = 1  ∞ 2  ∞ n ( 0 < t < )

41 เมื่อแจกแจงการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ f(t) = +cos(2t)+ cos(4t)+ cos(6t) จะได้พจน์ต้นๆ ว่า - { sin(2t)+ sin(4t)+ sin(6t)+.... }

42 g(t) t 0 2 g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) f (t) (0 < t < ) f (-t) (- < t < 0) นั่นคือ g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) t ( - < t < 0 ) t ( 0 < t < ) 2 2 กำหนดให้ 2

43 ในที่นี้ p = 2 จะได้ α = g (t)dt = t dt ∫ 0 2 ∫ 0 2 = 2 2 3

44 และสำหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้ α = g (t) cos ( nt ) dt n 4 2 ∫ 0 2 = ( - 1) 4 n 2 n = t cos ( nt ) dt 2 ∫ 0

45 จึง ได้ และ g(t) = + 4 cos( nt ) n = 1 n 3  ∞ (-1) n 2 2 f(t) = + 4 cos( nt ) (0< t < ) 3 n = 1  ∞ 2 n (-1) n 2

46 กำหนดให้ 3 g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) f (t) ( 0 < t < ) -f (-t) ( - < t < 0 ) 2 -f (-t) = - ( - t ) = -t 2 เนื่องจาก ดังนั้น 2 g(t) = ; g(t+2 ) = g(t) t ( 0 < t < ) -t ( - < t < 0 ) 2

47 g(t) t

48 ในที่นี้ p = 2 สำหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้ b = g(t) sin( nt )dt n ∫ = t sin( nt )dt ∫ = [ (-1) { - } - ] 2 2 n n n 2 2 n 2

49 จึงได้ g(t) = [ (-1) ( - ) - ] sin( nt ) 2 n 1 n = 1  ∞ n 2 n n 2 2 f(t) = [ (-1) ( - ) - ] sin( nt ) 2 n 1 n = 1  ∞ n 2 n n 2 2 และ ( 0 < t < )

50 t sin(nt)dt = t d cos(nt) ∫ n ∫ = [ t cos(nt) - cos(nt) dt ] n ∫ = [ t cos(nt) - sin(nt) ] + c n 1 n เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

51 เมื่อ k,c เป็นค่าคงตัว t cos(nkt)dt = t d sin(nkt) ∫ 1 nk ∫ 22 = [ t sin(nkt) - sin(nkt)dt ] 1 nk ∫ 22 = [ t sin(nkt) -2 tsin(nkt)dt ] 1 nk ∫ 2 = [ t sin(nkt)+ { tcos(knt) – cos(nkt) }] 1 nk ∫ 2 2 = [ t sin(nkt)+ { tcos(knt)– sin(nkt) }] +c 1 nk 2 2 1

52 cos(0) = 1, cos( ) = -1, cos(2 ) = 1, cos(3 ) = -1, cos(4 ) = 1,..., cos(n ) = (-1) n sin( ) = sin(2 ) = sin(3 ) = sin(4 ) =... = sin(n ) = 0


ดาวน์โหลด ppt หน่วยที่ 15. การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ และ การขยายความเป็นคาบ.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google