งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

Chapter 8 Continuous Beams. 2 8-1 Introduction Beams that are continuous over two or more spans. Two techniques are discussed: - Three-moment equation.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "Chapter 8 Continuous Beams. 2 8-1 Introduction Beams that are continuous over two or more spans. Two techniques are discussed: - Three-moment equation."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Chapter 8 Continuous Beams

2 2 8-1 Introduction Beams that are continuous over two or more spans. Two techniques are discussed: - Three-moment equation - Moment distribution Span 1 Span 2

3 3 Span 1 Span 2 วิธี redundant forces method (โดย superposition technique) A B C 1. ให้ R B เป็น redundant force วิธีทำ RBRB Fig.0 Fig.I Fig.II Fig.0 = Fig.I + Fig.II Span 1 Span 2 RBRB 3. อาจใช้วิธี superposition เพื่อคำนวณหา R B ได้ โดยใช้สมการด้านล่างนี้ 2. เงื่อนไขของจุดรองรับที่ B คือ

4 4 4 m 5 m ตัวอย่าง A B C 1. ให้ R B เป็น redundant force วิธีทำ RBRB Fig.0 Fig.I Fig.II Fig.0 = Fig.I + Fig.II Span 1 Span 2 RBRB 3. อาจใช้วิธี superposition เพื่อคำนวณหา R B ได้ จากตาราง 6-2 Ans 2. เงื่อนไขของจุดรองรับที่ B คือ

5 5 Span 1 Span 2 วิธี redundant forces method (โดย double integration technique) A B C 1. ให้ R A เป็น redundant force วิธีทำ RARA 2. ใช้สมการสมดุลคำนวณ R B ในเทอมของ R A RBRB 4. จากสมการโมเมนต์ สามารถใช้วิธี double integration คำนวณ deflection ในรูปของตัว แปรไม่ทราบค่า 3 ตัวคือ C 1, C 2 และ R A 3. สามารถเขียนสมการโมเมนต์ ทั้งหมดในเทอมของ R A 5. เงื่อนไขของจุดรองรับที่ A, B และ C ใช้ในการคำนวณหา C 1, C 2 และ R A ได้ วิธีที่สะดวกกว่า ได้แก่ วิธี Three-Moment-Equations

6 6 8-2 Generalized Form of Three-moment Equation สำหรับหน้าตัด 1, 2 และ 3 บน คานที่รับแรงกระทำแบบใด ๆ ชิ้นส่วน 12 และ 23 จะต้องอยู่ในสมดุล โดยแรงภายใน ได้แก่ โมเมนต์กระทำที่ปลาย 1, 2 และ 3 ( M 1, M 2 และ M 3 ) เราสามารถพิสูจน์สมการ ‘สามโมเมนต์’ ดังต่อไปนี้

7 เราสามารถใช้หลักการของ superposition ในการวาด โมเมนต์ไดอะแกรม ของชิ้นส่วนทั้งสอง (12 และ 23)

8 8 พิจารณา segment 123 และ h 1, h 3 ซึ่งหมายถึงระยะที่จุด 1 และ 3 อยู่สูงกว่าจุด 2 ตามลำดับ จะได้ t 1/2, t 3/2 ซึ่งหมายถึงระยะที่วัดจากจุด 1 และ 3 ลงมายังเส้นสัมผัสดังกล่าว ลากเส้นสัมผัสผ่านจุด 2

9 9 จากความสัมพันธ์ สามเหลี่ยมคล้าย ค่า t 1/2 และ t 3/2 สามารถคำนวณได้จาก ทฤษฏีพื้นที่ของโมเมนต์ ดังนี้

10 10 สมการที่ได้จาก สามเหลี่ยมคล้าย ค่า t 1/2 และ t 3/2 จาก ทฤษฏีพื้นที่ของโมเมนต์

11 11 Multiply by 6EI แทนค่า t1/2 และ t3/2 ลงในสมการ ที่ได้จากสามเหลี่ยมคล้าย ได้เป็น Eq. (8-1) สมการ ‘สามโมเมนต์’

12 Factor for Three-moment Equation Eq. (8-1)

13 13 Case uniformly varying load

14 14 Factors และ สำหรับสมการสามโมเมนต์ สามารถคำนวณได้ หรือใช้สูตรในตาราง 6-1

15 15

16 Application of Three-moment Equation Prob ตัวอย่าง

17 17 Prob ตัวอย่าง

18 Reaction of Continuous Beams; Shear Diagrams วิธีการคำนวณหาแรงปฏิกริยาวิธีหนึ่ง (ซึ่งไม่เป็นที่นิยมนัก) ได้แก่การตัด section ทีละ support แล้วใช้สมการสมดุลเพื่อคำนวณ แรงปฏิกริยา แล้วทำเช่นเดิมไปเรื่อยๆ

19 19 ทำซ้ำเช่นนี้ (ใช้สมการสมดุล) ไปเรื่อยๆ จะได้แรงปฏิกริยาครบทุก support อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ ไม่เป็นที่นิยมนัก เพราะหากเป็นคานหลายช่วง จะต้อง คำนวณหลายรอบและอาจคำนวณผิดพลาดได้ง่าย

20 20 วิธีการคำนวณหาแรงปฏิกริยาที่สะดวก (และเป็นที่นิยมกว่า) ได้แก่การตัด section ทุกๆ support แล้วใช้สมการสมดุลเพื่อคำนวณ แรงภายในที่ปลาย ทั้งหมด เมื่อนำมารวมกันจะได้เป็น แรงปฏิกริยาทุก support

21 21 เราสามารถวาด SFD และ BMD ในแต่ละ segment ได้ SFD (N) SFD (N) BMD (N.m) BMD (N.m) BMD (N.m)

22 22 วิธีนี้สะดวกและเป็นที่นิยมมาก SFD (N) BMD (N.m) เมื่อนำ SFD และ BMD ของทั้งสามรูปมาวาดรวมกันจะได้ SFD และ BMD ของคานทั้งหมด R 1 = 745-(-561.2) = 1,306.2 N ซึ่งแรงปฏิกริยาสามารถคำนวณจาก ผลต่างของแรงเฉือน ณ จุดรองรับ เช่น

23 Continuous Beams with Fixed Ends หากเราจินตนาการว่า มีคานที่ เหมือนกันทุกประการที่ฝั่งตรงข้าม แล้วใช้สมการสามโมเมนต์จะได้ สมการสามโมเมนต์สามารถใช้แก้ปัญหาคานต่อเนื่องที่มีปลายยึดแน่นได้เช่นกัน หรือจะคิดว่า มีคานในจินตนาการ (imaginary span) ที่ฝั่งตรงข้าม แล้วเขียนสมการสามโมเมนต์ จากนั้นให้กำหนดปริมาณทุกอย่าง ที่เกี่ยวกับ imaginary span เป็น ศูนย์ ก็จะได้สมการเดียวกัน จัดรูปเป็น

24 24

25 25

26 26

27 27 BMD (lb.ft) จากรูปสมมติว่าเราต้องการหาระยะแอ่นตัวที่จุด (2) 8-7 Deflection Determined by the Three-Moment Equations เราสามารถใช้สมการ สามโมเมนต์ในการหา ระยะแอ่นตัวของคาน ได้เช่นกัน ดังนี้ ให้แบ่งคาน ณ ตำแหน่งที่ต้องการหาระยะแอ่นตัว เป็น span 1 และ 2 แล้วเขียนสมการสามโมเมนต์ ซึ่งจากรูป ค่า h 1 และ h 3 คือ  นั่นเอง  270

28 28  นำค่าโมเมนต์จาก BMD แทนในสมการ สามโมเมนต์ เมื่อและ ดังนั้นสมการด้านบนจะกลายเป็น แก้สมการเพื่อหาค่า  จะได้ระยะแอ่นตัวที่ต้องการ Ans

29 29  ตัวอย่าง จากรูปหากต้องการหาระยะแอ่นตัวที่ (0) ให้แบ่ง คานที่ (1) ได้เป็น span 0 และ 1 เขียนสมการสามโมเมนต์ได้เป็น จากรูปจะได้ว่า   และผลการคำนวณใน Prob.811 ได้ว่า เมื่อ และ แทนค่าลงในสมการได้เป็น แก้สมการหาค่า EI  ได้ Ans

30 Moment Distribution (วิธีกระจายโมเมนต์) วิธีกระจายโมเมนต์นี้ มีคำศัพท์สำคัญอยู่ หลายคำได้แก่ 1. Beam Stiffness ( สติฟเนสของคาน ) หมายถึง โมเมนต์ที่ต้องกระทำที่ปลายคานเพื่อให้ปลายคาน นั้นหมุนไปเป็นมุม 1 เรเดียน 2. Carry Over Moment ( โมเมนต์ส่งถ่าย ) หมายถึง โมเมนต์ที่เกิดขึ้นที่ปลายคานฝั่งตรงข้าม ซึ่งเป็นผล สืบเนื่องจากการใส่โมเมนต์ที่ปลายคานอีกฝั่งหนึ่ง

31 31 Carry Over Moment Beam Stiffness การพิสูจน์ Carry Over Moment & Beam Stiffness โดย Area Moment Theorem

32 32 ค่าแรงกระทำที่ปลายทั้งหมดของคาน เมื่อเกิดการหมุนที่ปลาย เป็นมุม 

33 33 สำหรับคานต่อเนื่อง ณ จุดต่อจะมีมุมหมุนขนาดเท่ากัน

34 34 SFD BMD เราสามารถวาด SFD และ BMD ได้โดยนำกราฟของแต่ละชิ้นส่วนมาต่อกัน

35 35 ตัวอย่าง M BA = (4EI/4)  = EI  M B = 2,000 kg.m M BC = ?? kg.m M BA = ?? kg.m แรงภายใน M BA และ M BC ควรมีค่าเป็น เท่าใด ? - จุด B ต้องอยู่ในสมดุลต่อการหมุนนั่นคือ M BA + M BC = 2,000 kg.m - สมมติให้มุมหมุนที่จุด B มีค่าเป็น  ในชิ้นส่วน AB และ BC จะต้องมีค่าเท่ากัน M BC = (4EI/6)  = (2/3)EI  4 m 6 m M B = 2,000 kg.m 6 m

36 36 M BA = (4EI/4)  = EI  M BC = (4EI/6)  = (2/3)EI  4 m 6 m แทนลงใน M BA + M BC = 2,000 kg.m ได้เป็น EI  + (2/3) EI  = 2,000 kg.m EI  = (3/5)2,000 = 1,200 kg.m 6 m 4 m M BC = 800 kg.m M BA = 1,200 kg.m M BA = EI  =  1,200 kg.m M BC = (2/3)EI  =  800 kg.m

37 37 6 m M BC = 800 kg.m 4 m M BA = 1,200 kg.m จากสูตรของ Carry Over Moment M AB = M BA และ M CB = M BC M BA = 600 kg.m M BA = 400 kg.m V BC = 200 kg V CB = 200 kg V BA = 450 kg V AB = 450 kg SFD (kg) SFD BMD (kg.m) BMD ,

38 38 SFD (kg) BMD (kg.m) 4 m 6 m M B = 2,000 kg.m 400 kg.m 600 kg.m 450 kg 200 kg 250 kg , เมื่อนำกราฟ SFD และ BMD ของแต่ละชิ้นส่วนมาต่อกันได้เป็น Ans

39 39 ตัวอย่าง คำศัพท์สำคัญอีกคำหนึ่งสำหรับวิธีกระจายโมเมนต์ ได้แก่ 3. Fixed End Moment ( โมเมนต์ยึดแน่นปลาย, FEM) หมายถึง โมเมนต์ที่เกิดขึ้นที่ปลายคานในคานที่มีปลายยึดแน่นทั้งสองด้าน (ไม่มีการหมุนที่ปลายคานทั้งสอง) รับน้ำหนักกระทำแบบต่างๆ

40 40 หากเรานำโมเมนต์ยึดแน่นปลาย (Fixed End Moments) ของแต่ละชิ้นส่วน มาต่อกัน จะได้โมเมนต์ภายนอก (external moment) กระทำ ณ รอยต่อ

41 41 SFD BMD Fixed ในอีกมุมมองหนึ่งหากเรากำหนดให้โมเมนต์ภายนอกดังกล่าว กระทำ ณ รอยต่อ เราจะได้คานที่มีมุมหมุนเป็นศูนย์ ทุกๆ จุดต่อ

42 42 Fixed End Moment (FEM) สามารถคำนวณได้/หรือใช้ค่าที่ให้ไว้ในตาราง

43 43

44 44 Fixed Fig. 1 ซึ่งเราสามารถใช้หลักการของ super position ช่วยในการวิเคราะห์ได้ดังนี้ โจทย์ปัญหาที่เรา ต้องการวิเคราะห์ Fig. 2 ใส่โมเมนต์ M B (Fixed End Solutions) Fig. 3 ใส่โมเมนต์ -M B เพื่อให้ Fig.1 = Fig.2 + Fig.3

45 45 30 การใส่โมเมนต์ที่จุดรองรับ ขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้าม

46 46 Fig. 1 ตัวอย่าง Fig. 3 Fig. 2 5 m 1000 kg 100 kg 2.5 m Fixed 1000 kg 100 kg 625 kg.m kg.m = kg.m kg.m kg.m kg.m kg.m

47 47 ตัวอย่าง 5 m 1000 kg 100 kg 2.5 m kg.m kg.m BMD (kg.m) SFD (kg)

48 48 5. Distribution Factor (แฟกเตอร์การกระจายโมเมนต์, DF) ยังมีคำศัพท์สำคัญอีก 3 คำสำหรับวิธีกระจายโมเมนต์ ได้แก่ 4. Relative Stiffness ( สติฟเนสสัมพัทธ์ ) 6. Carry Over Factor (แฟกเตอร์สำหรับโมเมนต์ส่งถ่าย, COF) ได้แก่ ค่าตัวเลขที่เป็นจำนวนเท่าของสติฟเนสของคานแต่ละชิ้นรอบจุดใด จุดหนึ่ง (เพื่อให้สามารถหาสัดส่วนระหว่างสติฟเนสได้ง่ายขึ้น) หมายถึงสติฟเนส(หรือสติฟเนสสัมพัทธ์)ของชิ้นส่วนนั้นหารด้วย ผลรวมของสติฟเนส(หรือสติฟเนสสัมพัทธ์)ของคานรอบจุดนั้น คือสัดส่วนของโมเมนต์ส่งถ่ายต่อโมเมนต์ที่กระทำที่ปลาย (สำหรับคานที่มีปลายยึดแน่น COF = 0.5) ใช้คำนวณว่าชิ้นส่วนใดๆรอบจุดนั้นจะรับโมเมนต์เป็นสัดส่วนเท่าไหร่ ของโมเมนต์ที่เกิดขึ้นรอบจุดนั้นทั้งหมด

49 49 และ 5. Distribution Factor (แฟกเตอร์การกระจายโมเมนต์)

50 50 - Relative Stiffness & Distribution Factor A B C

51 51 - Relative Stiffness & Distribution Factor

52 52 Sign Convention Positive Bending Moment in BMD Positive Moment for Moment Distribution Method

53 53 Moment Distribution Method 1. คำนวณ Stiffness ของชิ้นส่วนคานแต่ละชิ้น 2. คำนวณ Distribution Factor รอบจุดต่อทุกจุด 3. คำนวณ Fixed End Moment 4. คำนวณ Unbalanced Moment รอบจุดต่อทุกจุด 5. กระจายโมเมนต์ รอบที่ 1 6. คำนวณ Carry Over Moment 7. คำนวณ Unbalanced Moment รอบจุดต่อทุกจุด 8. กระจายโมเมนต์ รอบที่ i

54 54

55 55

56 56 Reduced Stiffness & Carry Over Moment for Beam with Hinge Support

57 57

58 58

59 59

60 60

61 61

62 62

63 63

64 64

65 65

66 66


ดาวน์โหลด ppt Chapter 8 Continuous Beams. 2 8-1 Introduction Beams that are continuous over two or more spans. Two techniques are discussed: - Three-moment equation.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google