งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation I. The Schr Ö dinger Equation บทนำ quantum mechanics เป็นทฤษฎีทั่วไปที่นำมาอธิบาย.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation I. The Schr Ö dinger Equation บทนำ quantum mechanics เป็นทฤษฎีทั่วไปที่นำมาอธิบาย."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation I. The Schr Ö dinger Equation บทนำ quantum mechanics เป็นทฤษฎีทั่วไปที่นำมาอธิบาย mechanical states ของระบบซึ่งทฤษฎีนี้เป็นที่ยอมรับและ เข้ามาแทน classical mechanics (Newtonian) Classical Mechaics (before 1900) Classical Physics : Thermodynamics *Classical Mechanics Electrodynamics of Maxwell

2 Classical Mechanics : based on the laws of motion of Newton “Newtonian mechanics” 1.1 The Classical Mechanics of the Harmonic Oscillator z 0 z + - Stationary object Spring Mass Equilibrium position of mass The harmonic oscillator : model system ซึ่งแทนสสารที่ถูก แขวนโดย spring จาก stationary object รูปที่ 1 A system Represented by a Harmonic Oscillator

3 - motion of mass จะคิดพิจารณาเฉพาะ z, x และ y direction จะไม่นำมาพิจารณาด้วย - การพิจารณา force ที่เกี่ยวข้องกับ mass นั้น พิจารณาจาก small value ของ z โดย Hooke’s law F z = -kz k = force constant - = force is aways toward the equilibrium position

4 Equation of motion Equation of motion : differential eq. ซึ่งสามารถแก้ สมการแล้วให้ค่า z เป็นฟังก์ชันของ t - ต้องอาศัย Newton’s law (2 nd law) 1 st law : law of inertia 2 nd law : law of acceleration * 3 rd law : law of action and reaction

5 Newton’s second law (1.2) หรือ = mass of particle = unit vectors in direction x, y, z = accelleration Eq. of motion of harmonic oscillator : (1.3)

6 The general solution : (1.4) = arbitrary constant velocity component : (1.5) - สมมติ initial conditions

7  sin(0) = 0 cos(0) = 1  v z (0) = 0 ก็ต่อเมื่อ A = 0 และ B = C solution (1.6 ) (1.7)

8 รูปที่ 2 (a) The position as a function of time (b) The velocity as a function of time - การเคลื่อนที่ (motion) ในลักษณะนี้ เรียกว่า “simple harmonic motion”simple harmonic motion (speed สูงสุด เมื่อใกล้ origin speed ต่ำสุด เมื่อไกล origin )

9 Case study : Harmonic Oscillator – Ground State Harmonic Oscillator – Excited State

10 The probability density The probability density : โอกาสที่จะพบอนุภาค ให้ เป็นค่าของ z Probility of finding the particle between and = at time t Probability density คือ probability per unit length on the z axis - ขึ้นกับค่า time ( อนุภาคเคลื่อนที่ ) ดังนั้น probability density ( f ) ณ เวลาหนึ่งจึงเป็น sharply spiked function ( รูปที่ 3 ) - spike จะเปลี่ยนแปลงตามความสัมพันธ์ (1.6) (1.8)

11 รูปที่ 3 The probability density for the position of Harmonic oscillator (classical mechanics) - โอกาสที่จะพบอนุภาคเฉลี่ย (3(b)) จะมีค่าสูงสุดเมื่อ อนุภาค เคลื่อนที่อย่างช้า ๆ จะมีค่าต่ำสุดเมื่อ อนุภาค เคลื่อนที่อย่างเร็ว

12 Period Period of the oscillator ( ) : ช่วงเวลาที่อนุภาคเคลื่อนที่จาก ตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งที่จะเริ่มการซ้ำของตำแหน่ง - sin  และ cos  ถูกเปลี่ยนโดย 2  หรื อ (1.9)

13 The frequency The frequency of the oscillator ( ) : ส่วนกลับของ period หรือเป็นจำนวนของการ oscillations ต่อวินาที - frequency จะสูงขึ้นถ้า force const. มีค่ามากขึ้น (spring มีความแข็ง ) และ จะมีค่าน้อยลงถ้ามวลของอนุภาคมาก (1.10)

14 - พันธะเคมีมีลักษณะคล้าย spring เช่น typical vibrational frequencies of molecule

15 ระบบที่ 2 ของ Harmonic oscillator ระบบที่ 2 ของ Harmonic oscillator : สถานะถูกกำหนด โดย coordinates และ ความเร็ว ของอนุภาค รูปที่ 4 A second system of Harmonic oscillator (two particles connected by spring) z2z2 0 z + - Stationary object Spring Mass Equilibrium position of mass z1z1 m1m1 m2m2

16 - กำหนดตำแหน่งของสองอนุภาคโดยใช้ relative z coordinate z rel = z 2 – z 1 - force on particle 2 F 2 = -k( z rel – z rel,0 ) equilibrium length of spring (1.11) - z rel coordinate จะเคลื่อนที่โดยการสมมติโดย force เดียวกันกับ (1.11) - อนุภาคสมมติ (fictitious particle) จะมีมวลเท่ากับ  หรือ reduced mass ของสองอนุภาค  (1.12)

17 - พิจารณาระบบทั้งสองแบบจะเห็นว่ามีความคล้ายคลึงกันโดยระบบ ที่ 2 จะแทน m ด้วย  และแทน z ด้วย z rel - mechanical state ของระบบ ใน classical mech. จะพิจารณา จาก coordinates และ velocity mechanical quantity mechanical quantity - Kinetic energy (K) - Potential en. (V) (1.15) (1.14) (1.13)

18 รูปที่ 5 Mechanical variables of a Harmonic oscillator

19 The total energy ( E ) : (1.17) (1.16) - total energy เป็นค่าคงที่ ( สำหรับทุกค่าของ t ) เป็นตัวอย่าง ของ conservation of energy - z t เป็นค่าคงที่ หรือ magnitude ของ z ณ จุด turning point - จะมี negative turning point และ positive turning point ณ จุดที่มี potential en. สูงสุด (kinetic en. ต่ำสุดหรือหมดไป ) oscillator จะเริ่มเคลื่อนไปยังตำแหน่ง z=0

20 1.2 Properties of Wave in Classical Mechanics - ปรากฏการณ์ของการเกิดคลื่น (wave) ใน classical physics มีหลายแบบ เช่น - เสียง (sound) - แสง (light) - คลื่นบนผิวน้ำ - การสั่นของเส้นลวด oscillaling displacement รูปภาพ Period : เวลา ในการเกิด 1 oscillation Frequency : จำนวน oscillation ที่ เกิดในหนึ่ง หน่วยเวลา

21 2. Principal simple types of wave traveling wave standing wave รูปที่ 6 Traveling and standing waives

22 สมบัติที่สำคัญประการหนึ่งของคลื่น คือ การเกิด interference โดยเกิดคลื่น 2 ชนิด ณ ตำแหน่งเดียวกัน constructive interference destructive interference รูปที่ 7 The superposition of two waves of different wavelengths

23 Case study : Complex Waveforms Complex Waveforms – Euler Identity Uncertainty and Wave Packets

24 Wave in a Flexible String แบบจำลอง flexible string เป็นการพิจารณาระบบของ a real vibrating string : มีสมบัติ 1)Uniform ( น้ำหนักต่อหน่วยความยาว =  ) 2) มี Tension force (T) ดึงอยู่ที่ปลายเส้น 3)equilibrium position ของเส้น string มี segment เป็นเส้นตรง 4)string มีความยืดหยุ่นที่สมบูรณ์แบบ รูปที่ 8

25 assume string เคลื่อนที่น้อยมาก  ความยาว และ T จึงกล่าวได้ว่าคงที่ - วาง string บนระนาบ x-z เมื่อเกิดการสั่น ยังคงอยู่บน x-z plane - พิจารณา point ใด ๆ บน string - การเคลื่อนที่ - ความเร็ว (1. 19 ) (1. 18 ) Solution of the wave equation สมการ classical wave eq. คือ Coordinates velocity ให้ (1. 20 )

26 - สมการ (1.20) เป็น partial differential eq. แก้สมการแล้วจะได้ ฟังก์ชันของ x และ t ซึ่งเป็นการอธิบาย displacement ของ point บน string ในแต่ละเวลา - แก้สมการโดยอาศัย วิธี separation of variables ขั้นที่ 1 : assume trial solution factor ขึ้นกับ x หรือ t ขั้นที่ 2 : แทนค่า (1.21) ลงใน (1.20) (1. 21 ) (1. 22 )

27 แล้วหารด้วย (1. 23 ) ( แต่ละข้างจึงเหลือตัวแปรเดียว ) ขั้นที่ 3 : x และ t เป็น independent variable กำหนดให้เทอมขวาหรือซ้าย คงที่ จากนั้นแปรค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง ขั้นที่ 4 : แก้สมการโดย (1. 25 ) (1. 24 )

28 คูณ (1.24) ด้วย (1.25) ด้วย (1. 27 ) (1. 26 ) จะคล้ายคลึงกับ (1.2) ใน Eq.of motion ของ Harmonic oscillator - เมื่อแก้สมการแล้วจะได้ ฟังก์ชันของ x และ t โดยที่ B, D, F และ G เป็น arbitrary const. KL (1. 29 ) (1. 28 )

29 - สมการ (1.28) และ (1.29) เป็นไปตาม (1.20) เรียกว่า wave function * อาศัย Boundary condition เพื่อหาค่าของ B, D, F และ G displacement (z) จะหมดค่าไปเมื่อ x=0 และ x=L x=0 ; จะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ B=0 {sin0=0, cos0=1} x=L ; จะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ sin  =0 {  =n  } (1.30) (1.31) ต่อไปพิจารณาค่า F และ G

30 พิจารณา กรณีที่ 1 : string เคลื่อนที่ผ่านจุดสมดุล (z=0 สำหรับทุกค่าของ x) ณ เวลา t=0  F=0 กรณีที่ 2 : ค่า maximum displacement = A (G) ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า (1.32) เรียก z(x,t) ว่า wave function และ A เป็นค่า amplitude ของคลื่น

31 เมื่อได้ฟังก์ชัน displacement แล้วย่อมหาฟังก์ชันความเร็วได้เช่นกัน (1.33) จาก (1.33) จะเห็นว่าแต่ละ point บน string ( ไม่รวมจุดที่เกิด node ) มีการเคลื่อนที่แบบ Harmonic motion สมการ (1.32) แสดง displacement ของจุดต่าง ๆ บน string ซึ่งมีลักษณะเป็นคลื่นสำหรับค่า n ต่าง ๆ

32 รูปที่ 9 The ends of the string are fixed and between nodes, the string oscillates

33 Wave length : ความยาวที่ sine function เปลี่ยนช่วงละ 2  - สำหรับ string ที่มีความยาวเท่ากับ L ค่า wave length ( ) คือ หรือ (1.34) Period (  ) : ช่วงเวลาที่ string เคลื่อนที่กลับมายังจุดเริ่มต้น ( เปลี่ยนช่วงละ 2  ) (1.35)

34 frequency(v) : จำนวน oscillation ต่อหน่วยเวลาหรือส่วนกลับของ period v - ตัวอย่าง การเคลื่อนที่ของ string ซึ่งมีลักษณะต่อเนื่อง เช่น เครื่องดนตรีแบบเครื่องสาย จะส่งความถี่ ด้วยจำนวนของ harmonic ต่อเวลาอย่างต่อเนื่อง แสดงโดย สมการคณิตศาสตร์ (1.36)

35 Standing wave เมื่อ n=1 เรียกว่า fundamental or 1 st harmonic n=2 เรียกว่า first overtone or 2 nd harmonic สมการ (1.36) คือ ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) หรือ ผลรวมของผลคูณระหว่าง function กับค่า coefficients และ เรียกสมการ (1.36) ว่า Fourior sine series ค่า a 1, a 2, …, a n เรียกว่า Fourior constant


ดาวน์โหลด ppt 1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation I. The Schr Ö dinger Equation บทนำ quantum mechanics เป็นทฤษฎีทั่วไปที่นำมาอธิบาย.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google