ดาวน์โหลดงานนำเสนอ
งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ
1
3 The Discrete-Time Fourier Analysis and Transform การวิเคราะห์และการแปลงฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา รศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
2
เป้าหมาย นศ เรียนรู้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกต่างกับ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทที่ 5) นศ เรียนรู้ทฤษฎีการสุ่มสัญญาณ นศ รู้จักความหมายของผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
3
ความสัมพันธ์ของ สัญญาณแอนะลอกและดิจิตอล
xa(t) คือ สัญญาณแอนะลอก x(n) คือ สัญญาณดิจิตอล CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
4
ความสัมพันธ์ของความถี่เชิงมุมแอนะลอกและความถี่เชิงมุมดิจิตอล
จึงได้ว่า ช่วงเวลาชักตัวอย่าง ความถี่เชิงมุมดิจิตอล ความถี่เชิงมุมแอนะลอก CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
5
สัญญาณไซน์ไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Sinusoidal Signals)
ความถี่เชิงมุมดิจิตอล (Digital Angular frequency) หรือ เรียกง่ายๆ ว่า ความถี่ดิจิตอล (Digital frequency) หน่วยเป็นเรเดียนต่อแซมเปิ้ล (Radians per sample) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
6
สมมติให้ ดังนั้นจาก f เรียกว่า ความถี่นอร์มัลไลซ์ (Normalised frequency) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
7
1 คาบ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
8
X(n) ของค่า T= ½, ¼ และ 1/8 ของ fs
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
9
สัญญาณรายคาบ เมื่อ N=6 CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
10
1 สัญญาณรายคาบ สัญญาณจะเป็นรายคาบที่ N แซมเปิ้ล หมายถึง ค่าถัดไป N แซมเปิ้ล มีค่าเท่ากับค่าปัจจุบัน เงื่อนไขคือ ความถี่ (f)*คาบ (N) เป็นค่าจำนวนเต็ม (k) หรือ fN=k หรือ f= k/N CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
11
ตัวอย่าง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
12
ตัวอย่าง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
13
พิสูจน์ หากเราให้ x(n) และ x(N+n) เป็น CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
14
กรณี f *N เป็นเลขจำนวนเต็ม
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
15
กรณี f *N เป็นเลขจำนวนเต็ม = k
ดังนั้น k จึงเป็นจำนวนเท่าของ 2pi หรือ จะได้ว่า x(n+N) = x(n) ก็ต่อเมื่อ ความถี่ f ซึ่งเป็นอัตราส่วนของ k และ N เป็นเศษส่วนของเลขจำนวนเต็ม (Rational number) เท่านั้น หรือ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
16
ดังนั้น แต่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
17
2 สัญญาณจะมีความถี่ได้มากสุด=Pi
สำหรับ จะได้ว่าสัญญาณฟังก์ชันโคไซน์ ที่ให้ค่าเป็นบวก เขียนได้ 2 แบบ โดยที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
18
ความถี่ ค่าของฟังก์ชันโคไชน์จะเขียนแทนได้ด้วยค่าที่อยู่ในช่วง
หรือได้ว่า CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
19
ความถี่ f ค่าของฟังก์ชันโคไชน์จะเขียนแทนได้ด้วยค่าที่อยู่ในช่วง หรือ
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
20
เราได้ว่าที่ความถี่มากกว่า pi เรเดียน จะได้ เช่น
ตัวอย่างเช่น เราได้ว่าที่ความถี่มากกว่า pi เรเดียน จะได้ เช่น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
21
3 สัญญาณไซน์ที่มีความถี่ต่างกัน 2Pi จะเป็นสัญญาณเดียวกัน
จาก ให้ จะได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
22
อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Fourier Series)
เราวิเคราะห์สัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องทางเวลาที่เป็น รายคาบ (Periodic) ได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
23
อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Fourier Series)
สมการการสังเคราะห์ (Synthesis Equation) สมการการวิเคราะห์ (Analysis Equation) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
24
การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-Time Fourier Transform)
เราวิเคราะห์สัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องทางเวลาที่ไม่เป็นรายคาบ (Non-Periodic) ได้ด้วยการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (DTFT) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
25
โดเมนเวลา โดเมนความถี่ CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
26
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
27
ผลจากการประสาน h(n)*e^jwn
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
28
The Discrete-Time Fourier Transform
ผลการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (DTFT) ของ h(n) คือ ความถี่ดิจิตอลเชิงมุม หมด ความหมายของการเป็น ความถี่ ทำนองเดียวกับ n ที่ หมดความหมาย ในการเป็น “เวลา”. = ความถี่ดิจิตอลหน่วยเป็น เรเดียน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
29
กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชัน
กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชัน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
30
กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชันได้ผลลัพท์ y(n) =x(n)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
31
การแปลง DTFT กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์เป็นเดลต้าฟังก์ชัน
เนื่องจาก เดลต้าฟังก์ชัน มีค่าเป็น 1 ณ ตำแหน่งเดียวคือที่ n=0 ดังนั้น หรือ เป็นค่าคงที่ =1 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
32
ตัวอย่าง LabVIEW กรณีผลตอบสนองอิมพัลส์ เป็นเดลต้าฟังก์ชัน
1 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
33
กรณีอิมพัลส์เรสปอนส์เป็น เดลต้าฟังก์ชัน+ค่าหน่วงเวลาของมัน
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
34
กรณีอิมพัลส์เรสปอนส์เป็น เดลต้าฟังก์ชัน+ค่าหน่วงเวลาของมัน
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
35
LabVIEW กรณีอิมพัลส์เรสปอนส์เป็น เดลต้าฟังก์ชัน+ค่าหน่วงเวลาของมัน
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
36
ผลรวมเรขาคณิตมีประโยชน์ในการคำนวณ DTFT
ผลรวมเรขาคณิตแบบไม่จำกัด (Infinite geometric sum): ผลรวมเรขาคณิตแบบจำกัด (Finite geometric sum): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
37
ตัวอย่างการแปลง DTFT I
จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n) วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
38
ตัวอย่างการแปลง DTFT II
จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมื่อ และเป็น 0 เมื่อ n เป็นค่าอื่นๆ วิธีทำ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
39
ตัวอย่างการแปลง DTFT III
วิธีทำ สังเกต เครื่องหมาย ว่า n=0 อยู่ ณ ตำแหน่งของค่า 2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
40
ผลตอบสนองความถี่ของระบบ
เมื่อทำการประสานจะได้ การแปลงฟูริเยร์ที่ความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
41
เป็นผลตอบสนองความถี่ของระบบ h(n)
ใช้หาค่าของเอาท์พุท y(n) หรือเขียนในรูปโดเมนความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
42
Frequency Response from Poles and Zeros
ขนาดผลตอบสนองความถี่เป็น ขนาดจากซีโร่ ไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย หารด้วย ขนาดจากโพลไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย ณ ความถี่หนึ่ง B A ขนาดที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
43
Example for Frequency Response
สมมติว่า โพล = .8 ซีโร่ =0 ความถี่ต่ำ ความถี่กลางๆ ความถี่สูง B B A A A B B > A B = A B < A = มาก = กลางๆ = น้อย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
44
Plot of Magnitude สูง ต่ำ กลาง B A CESdSP
EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
45
ตัวอย่าง Example 4.4.1 หาผลลัพท์ของระบบ โดยมีอินพุทเป็น ลำดับ ที่ ได้
ที่ ได้ ดังนั้น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
46
หาผลตอบสนองของ h(n) แสดงว่า zero มีตัวเดียว คือ z1=0 Pole มี p1=1/2
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
47
การหาผลตอบสนองความถี่จากสมการผลต่าง (Frequency Response from Difference Equations)
ให้ ดังนั้น ตัด CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
48
มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท
ตัวอย่าง มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท จงหา ผลตอบสนองและสัญญาณ y(n) เมื่อ อินพุทเป็น วิธีทำ ผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
49
จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์”
ที่ ดังนั้น จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์” ขนาด เฟส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
50
ทดสอบ ค่า y(n) ที่คำนวณ
4.092 ต่างเฟส =3.42 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
51
การชักตัวอย่างสัญญาณ (Sampling)
ทฤษฎีการชักตัวอย่างสัญญาณ กล่าวว่า “ความถี่ของสัญญาณชักตัวอย่าง จะต้องมากกว่า 2 เท่าของ ความถี่สูงสุดของสัญญาณ ( fmax)” หากความถี่สุ่ม = fs ดังนั้น ... สัญญาณชักตัวอย่าง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
52
สเปคตรัม (Spectrum) และ ผลของการ ชักตัวอย่างสัญญาณ
สเปคตรัมเป็นการแสดงค่าการกระจายของสัญญาณในเชิงความถี่ ผลของการสุ่มทำให้เกิด สเปคตรัมแบบเป็นคาบ (periodic) ความถี่ fmax หรือ f0 เรียกว่า ความถี่ไนควิสต์ (Nyquist Frequency) ความถี่ชักตัวอย่างสัญญาณ ต่ำสุดที่จะไม่เกิด aliasing จะเรียกว่า อัตราไนควิสต์ (Nyquist rate) สเปคตรัม ความถี่ = Nyquist rate CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
53
อะไรคือแอลิแอส (Aliasing) ?
การเกิดแอลิแอส ในทาง dsp คือ “การเกิดการซ้อนทับของสเปคตรัม” สาเหตุคือ การที่ความถี่ชักตัวอย่างสัญญาณ น้อยกว่าสองเท่าของความถี่ไนควิสต์ หรือ ทางแก้: 1 ใช้ Anti-aliasing filter ซึ่งเป็น วงจรกรองต่ำผ่าน (Low pass filter) 2 ทำ Oversampling แอลิแอส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
54
ทฤษฎีการชักตัวอย่างสัญญาณและคืนรูปสัญญาณ (Sampling and Reconstruction)
ผลตอบสนองของสัญญาณต่อเนื่องทางเวลา xa(t) คือ = ความถี่แอนาลอก เป็น เรเดียนต่อวินาที หาได้จากการแปลงฟูริเยร์ของ แปลงฟูริเยร์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
55
ความถี่แอนาลอกกับ ความถี่ดิจิตอล สัมพันธ์กันดังนี้
ผลของการชักตัวอย่างสัญญาณ ทำให้การแปลงฟูริเยร์เป็น รายคาบ (periodic) แปลงฟูเรียร์ สัญญาณสุ่ม มีความถี่= 1/T CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
56
ทฤษฎีการสุ่ม สัญญาณชักตัวอย่าง: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกชัก
แปลง อิมพัลส์ เป็น สัญญาณ DT สัญญาณชักตัวอย่าง: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกชัก ตัวอย่างสัญญาณ : สัญญาณไม่ต่อเนื่อง (DT): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
57
ทฤษฎีการชักตัวอย่างสัญญาณ (ต่อ)
การแปลงฟูริเยร์สำหรับสัญญาณแอนาลอก xa(t) เมื่อ คือ ความถี่แอนาลอก หน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/sec) ทำการชักตัวอย่างสัญญาณแอนาลอก ด้วย ความถี่ T วินาที และแปลงฟูริเยร์ ก็ได้เป็น สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
58
สมการแอลิแอส (Aliasing formula)
การแปลง DTFT ของ x(n) ได้เป็น เป็น ผลรวมของ ที่ต่างความถี่ สมการแอลิแอส (aliasing formula) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
59
เมื่อช่วงเวลาในการสุ่ม
เกิด แอลิแอสและไม่สามารถคืนรูปสัญญาณได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
60
แบนด์วิทของสัญญาณที่ใช้ได้ (คือไม่เกิดแอลิแอส)
ความถี่ในการสุ่มสัญญาณ Hertz แบนด์วิทมากสุดของสัญญาณ (ความถี่ไนควิสต์) Hertz สัญญาณสุ่มต้อง มีค่ามากกว่า แบนด์วิท 2 เท่า CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
61
การคืนรูปสัญญาณ (Reconstruction)
ใช้วงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ กรองต่ำผ่าน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
62
จากเรื่องการสุ่มเราได้
แปลงกลับเป็น อิมพัลส์ กรองต่ำผ่าน อุดมคติ ตัวแปลง D/C อุดมคติ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
63
ผลตอบสนองของวงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ
แปลงผกผันฟูเรียร์ การคืนรูปสัญญาณ สูตรการทำ Interpolation CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
64
แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง
dsp_3_1.jpg แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง dsp_3_2.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
65
ผลการคูณของแต่ละตำแหน่ง
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
66
ผลรวมของการทำ interpolation คือสัญญาณคืนรูป
dsp_3_9.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
67
สรุป DFS ใช้วิเคราะห์ สัญญาณรายคาบ
DTFT ใช้วิเคราะห์สัญญาณทั้งเป็นรายคาบและไม่เป็นรายคาบ การชักตัวอย่างสัญญาณทำให้เกิดผลตอบสนองความถี่ที่เป็นรายคาบ โดยความถี่การชักตัวอย่างจะต้องมากกว่า 2 เท่า ของ ความถี่แอนาลอกสูงสุด การคืนรูปสัญญาณได้โดยการใช้วงจรกรองต่ำผ่านกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
