นำเสนอโดย ดร.สุธี สุดประเสริฐ

งานนำเสนอเรื่อง: "นำเสนอโดย ดร.สุธี สุดประเสริฐ"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 นำเสนอโดย ดร.สุธี สุดประเสริฐ
Introduction to the Theory of Computation (complexity, computability, and automata) นำเสนอโดย ดร.สุธี สุดประเสริฐ Source: Chapter 0 - Introduction to the Theory of Computation by Michael Sipser

2 อะไรคือความสามารถพื้นฐานของคอมพิวเตอร์และขีดจำกัดของคอมพิวเตอร์คืออะไร?
ปัญหานี้เริ่มขึ้นในช่วงปี 1930 เมื่อนักคณิตศาสตร์เริ่มสนใจที่จะหาความหมายของ “การคำนวณ” (computation) มี 3 สาขาวิชาที่เกี่ยวเนื่องกับปัญหานี้ โดยแต่ละสาขามีมุ่งมองในการตอบปัญหานี้แตกต่างกันไป Complexity theory Computability theory Automata theory

3 Complexity theory (1) ปัญหาทางคอมพิวเตอร์มีความหลากหลาย;
บางปัญหาง่าย เช่น ปัญหาการจัดเรียงลำดับ บางปัญหายาก เช่น ปัญหาการจัดตารางเวลา อะไรคือองค์ประกอบที่ทำให้ปัญหาหนึ่ง ยากกว่าอีกปัญหาหนึ่ง ซึ่งปัญหานี้คือหัวใจหลักของ complexity theory

4 Complexity theory (2) นักวิจัยได้ค้นพบวิธีการในการจำแนกได้ว่าปัญหาหนึ่งมีความยากง่ายขนาดไหน ในกรณีนี้ เราสามารถแสดงวิธีการในการให้หลักฐานว่าปัญหาหนึ่งคือปัญหาที่มีความยากทางการคำนวณ (เหมือนการบอกชนิดของธาตุ จากการเปรียบจากตารางธาตุ) แต่เราไม่สามารถพิสูจน์ตรงๆ ได้ว่าปัญหาหนึ่งเป็นปัญหาที่ยาก

5 Complexity theory (3) สาขาวิชาหนึ่งที่มีการใช้ complexity theory โดยตรงคือสาขาวิทยาการเข้ารหัสลับ (cryptography) ในสาขาวิชาอื่นๆ ส่วนมากจะชอบปัญหาที่ง่ายมากกว่าปัญหาที่ยาก แต่สาขาวิทยาการเข้ารหัสลับ จะแตกต่างออกไปคือต้องการที่จะหาปัญหาที่แก้ได้ยากแทน

6 Computability theory ในช่วงปี , นักคณิตศาสตร์ (Kurt Godel, Alan Turing, และ Alonzo Church) ได้ค้นพบว่ามีปัญหารูปแบบหนึ่งที่คอมพิวเตอร์ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ ปัญหานั้นคือการบอกว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์หนึ่งเป็นจริงหรือเท็จ ไม่มีลำดับวิธีการทางคอมพิวเตอร์ไหนที่สามารถแก้ไขนี้ได้ ใน computability theory การจำแนกปัญหาจะจำแนกว่าปัญหาแบบไหนแก้ไขได้และปัญหาแบบไหนแก้ไขไม่ได้

7 Automata theory (1) Automata theory จะสนใจในการนิยามและคุณสมบัติของจำลองทางคณิตศาสตร์ของการคำนวณ แบบจำลองหนึ่งคือ finite automaton ซึ่งนิยมใช้ใน text processing, compilers, และ hardware design อีกแบบจำลองหนึ่งคือ context-free grammar ซึ่งนิยมใช้ใน programming languages และ artificial intelligence (natural language processing)

8 Automata theory (2) Automata theory เป็นจุดเริ่มต้นที่เหมาะสมในการเริ่มต้นศึกษาทฤษฎีการคำนวณเพราะว่า computability theory และ complexity theory ต้องการนิยามที่ชัดเจนของคอมพิวเตอร์ก่อน การศึกษา automata theory จะทำให้เราเข้าใจนิยามทั่วไปของคอมพิวเตอร์ได้ชัดเจนมากขึ้น

9 สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และคำศัพท์ที่ควรรู้ก่อนเรียนวิชานี้
Sets Sequences and Tuples Functions and Relations Graphs Strings and Languages Boolean Logic

10 Sets {7, 21, 57} 7  {7, 21, 57} {7,21}  {7, 21, 57} {7, 7, 7, 21, 57} = {7, 21, 57} Infinite set N = {1, 2, 3, …}  is empty set

11 Sets Union A  B { 1, 2, 3 }  { 2, 3, 4, 5 } = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Intersect A  B { 1, 2, 3 }  { 2, 3, 4, 5 } = { 2, 3 } Complement A’ { 0, 2, 4, … }’ = { 1, 3, 5, … } Power set is the set of all subsets. A = { 0, 1 } A* = { , {0}, {1}, {0, 1} }

12 Sequence and Tuples Sequence
(7, 21, 57)  (21, 7, 57)  (7, 7, 21, 57) Tuple A sequence with k elements is a k-tuple. (1, 3) : 2-tuple (also called pair) (2, 4, 6) : 3-tuple

13 Functions and Relations
Functions : A function also is called a mappings. f(a) = b f: D → R abs (-1) = abs(-1) = 1 ads: Integer → Integer add (3, 5) = 8 add: Integer  Integer → Integer divide (5, 2) = 2.5 divide: Integer  Integer → Real Input Output Domain Range

14 Functions and Relations
A predicate or property is a function whose range is {TRUE, FALSE}. even(4) = TRUE, odd(4) = FALSE A property whose domain is a set of k-tuples is called a relation, a k-ary relation. A 2-ary relation is called a binary relation. aRb means aRb = TRUE or R(a, b) = TRUE infix prefix

15 Graphs An undirected graph or a graph nodes (vertices) edges (arcs)
degree 3 degree = 2 5 nodes, 6 edges 4 nodes, 6 edges An undirected graph or a graph

16 Graphs G = (V, E) where V is the set of nodes and E is the set of edges G = ({1,2,3,4,5}, {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,1)})

17 Graphs a path in a graph a cycle in a graph a tree

18 Graphs A directed graph indegree = 1 indegree = 2 outdegree = 2

19 Strings and Languages  = {a, b, c ,d ,e, 0, 1}
An alphabet is any nonempty finite set. Members of the alphabet are the symbols of the alphabet. A string over an alphabet is a finite sequence of symbols from that alphabet. ab01, 01aed, 001, aabb alphabet symbols

20 Strings and Languages If w is a string, the length of w, written |w|, is the number of symbols. w = abcde, |w| = 5 |w| = 0 is call the empty string and is written . wR is the reverse of w. w = abcde, wR = edcba w = abracadabra, cad is substring of w.

21 Strings and Languages w1 = abcd and w2 = 0011, the concatenation of w1 and w2, written w1w2. w1w2 = abcd0011. A language is a set of strings.

22 Often represented by the value 1 and 0.
Boolean Logic The value TRUE and FALSE are called the Boolean values. Often represented by the value 1 and 0. conjunction or AND disjunction or OR negation or NOT

23 Boolean Logic exclusive or or XOR equality implication
Two expressions in each row are equivalent.

24 Boolean Logic Distributive Law P  (Q  R) equals (P  Q)  (P  R)

25 Definitions, Theorems, and Proofs
Mathematical statements Proof Theorem Lemmas Corollaries

26 Definitions Definitions describe the objects and notions that we use.

27 Mathematical statements
A meaningful composition of words which can be considered either true or false is called a mathematical statement or simply a statement. “ABC is an equilateral triangle.” “E is a set of even numbers.”

28 Proofs A proof is a convincing logical argument that a statement is true. A theorem is a mathematical statement proved true. Generally we reserve the use of that word for statements of special interest. A lemma is a proved statement that is interesting only because they assist in the proof of another, more significant statement. A corollary is a proved statement that may allow us to conclude easily that other, related statements are true.

29 Types of Proof Proof by construction Proof by contradiction
Proof by induction